"Lös ekvationen"

Hej,

Frågan lyder som titeln nämner... "lös följande ekvation: ${(\ln x)}^{3} + {(\ln x)}^{2} - \ln x - 1 = 0$ " och jag har fastnat lite..

Jag kikade på nästa rad i facit för att hitta en ledtråd till hur jag går vidare, och har väl kommit ett steg närmare, men egentligen utan att förstå.. I facit nämner de att vi kan byta ut "lnx" mot en variabel, de använder sig av "t".

Då får vi $t^{3} + t^{2} - t - 1 = 0$

Vad kallas det som händer här. Har sett det innan men har inte riktigt övat på det och kunde då inte komma på det själv.

När jag har kommit hit ser jag dock att en lösning bör vara t=1, alltså (lnx)=1.

Däremot är jag fast här.. Hur bör jag ta mig vidare och vad är det jag skall hålla utkik efter?

Mvh, någon på internet

Så bra - du har prövat dig fram till en rot, t=1
Nästa steg är att göra en polynomdivision, dvs dividera din 3-gradare med faktorn (t-1) för att få fram enandragradsekvation, som du i sin tur kan lösa på vanligt sätt

Polynomdivision kan göras på flera sätt - t ex som här

Metoden kallas substitution (=ersättning). Man ersätter ln x med t. Du kommer vidare genom att dividera polynomet i V L med (t-1). Du erhåller då en andragradsekvation. Det är standardmetoden. Alternativt kan du i detta fallet istället skriva om VL till t³- t +t²-1 = t(t²-1)-(t²-1)=(t²-1)(t-1) och utnyttja att de reella talen saknar nolldelare. ( dvs "En produkt är 0 om och endast om minst en av faktorerna är 0").

Henning skrev:
Så bra - du har prövat dig fram till en rot, t=1
Nästa steg är att göra en polynomdivision, dvs dividera din 3-gradare med faktorn (t-1) för att få fram enandragradsekvation, som du i sin tur kan lösa på vanligt sätt

Polynomdivision kan göras på flera sätt - t ex som här

Ja precis, prövat mig fram, vilket kanske inte är så bra... eller? vill helst förstå vad det är jag gör :) men jag kikar på länken, tack!

Tomten skrev:
Metoden kallas substitution (=ersättning). Man ersätter ln x med t. Du kommer vidare genom att dividera polynomet i V L med (t-1). Du erhåller då en andragradsekvation. Det är standardmetoden. Alternativt kan du i detta fallet istället skriva om VL till t³- t +t²-1 = t(t²-1)-(t²-1)=(t²-1)(t-1) och utnyttja att de reella talen saknar nolldelare. ( dvs "En produkt är 0 om och endast om minst en av faktorerna är 0").

Ja just det, nu känner jag igen det, men hur väljer man vad man ska dividera med? Du skrev "t-1". Var det av någon speciell anledning? Är det för att resterande inte är "förstagradare", alltså, hade man tagit allt efter ..."t²" och dividerat med?

elikamedmc2 skrev:
Henning skrev:
Så bra - du har prövat dig fram till en rot, t=1
Nästa steg är att göra en polynomdivision, dvs dividera din 3-gradare med faktorn (t-1) för att få fram enandragradsekvation, som du i sin tur kan lösa på vanligt sätt

Polynomdivision kan göras på flera sätt - t ex som här

Ja precis, prövat mig fram, vilket kanske inte är så bra... eller? vill helst förstå vad det är jag gör :) men jag kikar på länken, tack!

I detta fall är att pröva sig fram till den första roten en bra metod.

Att du sedan efter att ah funnit en rot, t=1, dividerar med just (t-1) kan förklaras med ex nedan.

Ekvationen $x^{2} + x - 2 = 0 h a r r ö t t e r n a x_{1} = 1 o c h x_{2} = - 2$
Då kan den också skrivas på faktorform: $(x - 1) \cdot (x + 2) = 0$

Henning skrev:
elikamedmc2 skrev:
Henning skrev:
Så bra - du har prövat dig fram till en rot, t=1
Nästa steg är att göra en polynomdivision, dvs dividera din 3-gradare med faktorn (t-1) för att få fram enandragradsekvation, som du i sin tur kan lösa på vanligt sätt

Polynomdivision kan göras på flera sätt - t ex som här

Ja precis, prövat mig fram, vilket kanske inte är så bra... eller? vill helst förstå vad det är jag gör :) men jag kikar på länken, tack!

I detta fall är att pröva sig fram till den första roten en bra metod.

Att du sedan efter att ah funnit en rot, t=1, dividerar med just (t-1) kan förklaras med ex nedan.

Ekvationen $x^{2} + x - 2 = 0 h a r r ö t t e r n a x_{1} = 1 o c h x_{2} = - 2$
Då kan den också skrivas på faktorform: $(x - 1) \cdot (x + 2) = 0$

Jag är ledsen men jag hänger fortfarande inte riktigt med varför just (t-1)

vilken ska man dividera med i ditt exempel...?

Om ett polynom f(x) har ett nollställe x = a, alltså f(a) = 0, så är x-a en faktor i f(x). Man kan därmed dividera f(x) med x-a och få ett enklare polynom som gör det lättare att hitta övriga nollställen.

Vi utgår från din 3-e gradare $t^{3} + t^{2} - t - 1 = 0$
Om den har 3 reella rötter, där en är t=1 och de andra är t=a och t=b.
Då blir ju vänsterledet, VL, i ekvationen 0 då man sätter in dessa värden för t i ekvationen.
Men denna ekvation kan även skrivas som en produkt av faktorer enligt $(t - 1) \cdot (t - a) \cdot (t - b) = 0$

Sätter du då in ett värde på t som är 1,a eller b i VL så blir en av faktorerna 0, vilket gör hela den sidan =0 och 'equal' med HL, som är 0
Alltså, för t=1 måste du skapa en faktor som är (t-1) för att den ska bli noll för just t=1

Är detta tydligare?

Laguna skrev:
Om ett polynom f(x) har ett nollställe x = a, alltså f(a) = 0, så är x-a en faktor i f(x). Man kan därmed dividera f(x) med x-a och få ett enklare polynom som gör det lättare att hitta övriga nollställen.

Ja, nu läste jag på lite och hittade faktorsatsen, vilket detta är om jag inte ser helt fel? Super, nu blev det klart! Tack :)

Henning skrev:
Vi utgår från din 3-e gradare $t^{3} + t^{2} - t - 1 = 0$
Om den har 3 reella rötter, där en är t=1 och de andra är t=a och t=b.
Då blir ju vänsterledet, VL, i ekvationen 0 då man sätter in dessa värden för t i ekvationen.
Men denna ekvation kan även skrivas som en produkt av faktorer enligt $(t - 1) \cdot (t - a) \cdot (t - b) = 0$

Sätter du då in ett värde på t som är 1,a eller b i VL så blir en av faktorerna 0, vilket gör hela den sidan =0 och 'equal' med HL, som är 0
Alltså, för t=1 måste du skapa en faktor som är (t-1) för att den ska bli noll för just t=1

Är detta tydligare?

Mycket tydligare, tack! :)

Svara

Visa senaste svar