Lös ekvationen

Hej

kan någon hjälpa mig med följande uppgift:

Lös ekvationen $x^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(x - y)}^{2} = \frac{1}{3}$

Jag började med att lösa ut parenteserna $2 x^{2} - 2 x y + 2 y^{2} - 2 y + 1 = \frac{1}{3} \Rightarrow 2 (x^{2} - x y + y^{2} - y) = - \frac{2}{3}$

Sedan flyttade jag även över 2an framför parentesen från VL till HL $(x^{2} - x y + y^{2} - y) = - \frac{7}{3}$

Men jag är osäker på nästa steg för att lösa ut x och y

Vad är uppgiften? Du har ett andragradsuttryck i x och y. Det blir en kurva i xy-planet.

Det enda som står är lös ekvationen.

Så jag ska ju få fram ett värde på x och y men jag är inte riktigt med på hur jag ska gå vidare efter det jag skrev.

Det går inte att få fram både x och y om man bara har en ekvation. Har du skrivit av uppgiften ord för ord?

Ekvationen har oändligt många lösningar. Du kan lösa ut y i termer av x eller x i termer av y, oavsett så kan du sätta in vilket värde som helst i ena ledet för att få ut ett värde i andra ledet. Det verkar som att du saknar något i uppgifts formuleringen.

EDIT: Att det står "lös ekvationen" betyder inte automatiskt att man alltid ska lösa ut x. Man ska lösa för variablerna, i detta fall verkar det vara två variabler. Om uppgiften är att lösa ut x, så är det betydligt enklare.

Raderat (Lirim K skrev bättre)

Lirim.K skrev :
Ekvationen har oändligt många lösningar. Du kan lösa ut y i termer av x eller x i termer av y, oavsett så kan du sätta in vilket värde som helst i ena ledet för att få ut ett värde i andra ledet. Det verkar som att du saknar något i uppgifts formuleringen.
EDIT: Att det står "lös ekvationen" betyder inte automatiskt att man alltid ska lösa ut x. Man ska lösa för variablerna, i detta fall verkar det vara två variabler. Om uppgiften är att lösa ut x, så är det betydligt enklare.

okej, nej det är inte bara x utan det står bara; lös ekvationen

Okej, men då kanske man ska lösa ekvationen explicit först termer av y och sedan i termer av x. Börja med att utveckla parenteserna och samla termerna för sig på ena sidan. I sista ledet får jag istället

$x^{2} - x y + y^{2} - y - \frac{1}{3} = 0$ .

Om du tänker dig ekvationen för en andragradare på allmän form, $a x^{2} + b x + c = 0$ , så ser du att $a = 1,$ b $= - y$ och $c = y^{2} - y - 1 / 3 .$ Denna andragradare kan du lösa i termer av x och få två rötter. Gör sedan samma sak fast där du löser ut y och behandlar x som konstant.

Möjligtvis saknas eller är underförstått ett bivillkor att x och y skall återfinnas bland de reella talen? Då finns det nämligen endast en lösning.

Den kan man få fram genom att först lösa ut y ur ekvationen och sedan undersöka vilka värden på x som ger ett reellt y. Då ser man att det endast finns ett värde på x som uppfyller detta, nämligen x = 1/3.

(det går såklart även att göra tvärtom, dvs först lösa ut x ur ekvationen o.s.v.)

I mitt första inlägg så tog jag termen ${(x - y)}^{2}$ felaktigt för ${(x - 1)}^{2}$ . Det är korrekt, som Yngve säger. Man kan visa detta genom att lösa ut $x$ först:

$x = \frac{3 y - \sqrt{3} \cdot \sqrt{- 9 y^{2} + 12 y - 4}}{6}$ ,

Observera att

$\sqrt{- 9 y^{2} + 12 y - 4} = \sqrt{- {(3 y - 2)}^{2}} = |- (3 y - 2)| .$

Alltså är $x$ ett reellt tal omm $- {(3 y - 2)}^{2} \geq 0$ och detta sker endast då $y = 2 / 3$ eftersom funktionen $f (y) = - {(3 y - 2)}^{2}$ har en dubbelrot där, i annat fall så blir rötterna komplexa. Sätter man in detta $y -$ värde i den ursprungliga ekvationen får man att $x = 1 / 3 .$

Svara

Visa senaste svar