Lös ekvationen

Hej,
har en uppgift jag fastnat på och som jag inte riktigt förstår.

${(x + \frac{1}{x})}^{2} - \frac{1}{x} = x + 12$

Jag har kommit så långt så att jag förlängt så nämnarna blir likadana och flyttat över x+12 till vänsterledet;
$\frac{x^{2} - 10 x^{2} + 1 - x - x^{3}}{x^{2}} = 0$

Här fastnade jag och använde en app som visade hur jag skulle lösa talet och där stod det att eftersom ekvationen blir =0 så kan jag bara ta bor nämnaren.
Därefter ska jag skriva om talet igen så det ser ut på följande sätt;

$x^{4} + x^{2} - 12 x^{2} + 1 + 3 x - 4 x - 4 x - 4 x^{3} + 3 x^{3} = 0$

Redan här känner jag att det blir väldigt konstigt och som om det blir en överdrivet lång uträkning.
Därefter ska jag bryta ut $x^{2}$ . Lösningen fortsätter i en evighet.
Är detta verkligen ett bra sätt att lösa denna uppgift? Jag förstår hälften av alla steg dom gör och allt ser onödigt krångligt ut.
Hur ska jag tänka för att komma vidare?

Ekvationen kan skrivas

$(x+\frac{1}{x})^2-(x+\frac{1}{x})-12=0$

vilket är en andragradsekvation i uttrycket $x+\frac{1}{x}$ --- som aldrig antar värden på det öppna intervallet $(-2,2)$ --- och löses på sedvanligt sätt genom att införa $2y=x+\frac{1}{x}$ .

$\displaystyle 4y^2-2y-12=0\iff y^2-0.5y-3=0.$

När väl $y$ är bestämt ( $y=2$ ) har du en andragradsekvation i $x$ att lösa, även den på sedvanligt sätt.

$\displaystyle(x-y)^2=(y-1)(y+1)\iff x=y\pm\sqrt{(y-1)(y+1)}.$

Det finns två vägar att gå här:

Alternativ 1: Fortsätt på din metod. Vi noterar att ursprungsekvationen inte ens makear sense om $x=0$ (vi skulle få division med 0), så vi kan anta $x\neq 0$ och därmed utan vidare multiplicera båda led med $x^2$ , så att vi får

$x^4-x^3-10x^2-x+1=0\,.$

Det bästa sättet att lösa polynomekvation av grad högre än två är oftast att faktorisera ner den till förstagradare och/eller andragradare. Ett sätt att göra det är att gissa en rot (svårt i detta fallet!) och polynomdividera. Ett annat sätt är att helt enkelt prova sig fram till en vettig faktorisering. Ibland lyckas man inte med någon av de approacherna, och då är det kanske läge att fråga WolframAlpha eller Maple. Men i det här fallet behövs det inte jättemycket trial and error för att inse att vänsterledet kan skrivas som $(x^2+3x+1)(x^2-4x+1)$ .

Ekvationen är alltså ekvivalent med

$(x^2+3x+1)(x^2-4x+1)=0\,,$

vilket enligt nollproduktsregeln är ekvivalent med att $x^2+3x+1=0$ eller att $x^2-4x+1=0$ . Så simsalabim så har vi ovanlat problemet till att lösa två andragradare. Kommer du vidare härifrån själv?

Alternativ 2. Detta är i princip vad Albiki gör, fast uttryckt på ett annat sätt. Flyttar vi över högerledet till vänster och stökar om lite får vi

$({\color{blue}x+\frac{1}{x}})^2-({\color{blue}x+\frac{1}{x}})-12=0\,,$

där viser vi att $\color{blue}x+\frac{1}{x}$ dyker upp på två ställen.

Om vi ansätter $t=x+1/x$ får vi en andragradsekvation

${\color{blue}t}^2-{\color{blue}t}-12=0\,,$

som vi enkelt räknar fram har lösningarna ${\color{blue}t}=-3$ och ${\color{blue}t}=4$ .

Det betyder att ursprungsekvationen är ekvivalent med att

${\color{blue}x+\frac{1}{x}}=-3$ eller ${\color{blue}x+\frac{1}{x}}=4$ .

Lös nu båda dessa ekvationer var för sig genom att multiplicera med $x$ i båda led (vilket vi får lov att göra eftersom vi kan konstatera att $x\neq 0$ ).

Svara