Lös ekvation x^3+216i=0

Det är argumentet för $x^3$, inte för $x$ som blir $\frac{3 \pi}{2}$. Den "första" lösningen blir alltså $6i$.

Hej!

Din lösning blir bättre om du skriver det komplexa talet $-i$ som

    $-i = e^{i\frac{3\pi}{2} + i2\pi n}$

där $n$ betecknar ett godtyckligt heltal.

Det komplexa talet $x = re^{iv}$ är då sådant att

    $r^3e^{i3v} = 6^3e^{i\frac{3\pi}{2} + i2\pi n}$

vilket betyder att de komplexa talen

    $x_{n} = 6e^{i\frac{\pi}{2} + i \frac{2\pi}{3} n}\ ,$

och inte

    $x_{n} = 6e^{i\frac{3\pi}{2} + i\frac{2\pi}{3}n}$

som du skriver.

Det är också fel att skriva $x = 6$ och $arg = \frac{3\pi}{2} + n\frac{2\pi}{3}\ .$ För det första är $x = 6$ fel eftersom $6^3 \neq -216i$ och för det andra har du inte förklarat vad $arg$ är för något; om du menar argumentet för $x$ så måste du tala om ifall det är principalargumentet $Arg$ eller inte.

Albiki

Alternativ lösning eftersom jag älskar generaliserade konjugatregeln:

$x^3+216i=0$

$x^3 - (6i)^3=0$

Konjugatregeln

$x^3 - (6i)^3 = (x - 6i)(x^2 + 6ix - 36)$

Alltså är en lösning $x_1 = 6i$ och de andra två är lösningar till

$x^2 + 6ix - 36 = 0$

Kvadratkomplettering

$(x + 3i)^2 - (3i)^2 - 36 = 0$

$(x + 3i)^2 -27 = 0$

$(x + 3i)^2 - (3\sqrt{3})^2 = 0$

$(x + 3i + 3\sqrt{3})(x + 3i - 3\sqrt{3}) = 0$

Så de andra två lösningarna är

$x_2 = -3i - 3\sqrt{3}$

$x_3 = -3i + 3\sqrt{3}$

Just det, så jag gjorde den första fel, eftersom jag glömde dela med 3, och efter detta blev andra lösningarna fel.

Tack till ni båda.

@Albiki :tack o lov på denna prov måste jag bara ange svar, inte skriva snug matematik i latex. Men jag ska försöka komma ihåg, jag lovar!

SeriousCephalopod skrev :

Alternativ lösning eftersom jag älskar generaliserade konjugatregeln:

$x^3+216i=0$

$x^3 - (6i)^3=0$

Konjugatregeln

$x^3 - (6i)^3 = (x - 6i)(x^2 + 6ix - 36)$

Alltså är en lösning $x_1 = 6i$ och de andra två är lösningar till

$x^2 + 6ix - 36 = 0$

Kvadratkomplettering

$(x + 3i)^2 - (3i)^2 - 36 = 0$

Error converting from LaTeX to MathML

$(x + 3i)^2 - (3\sqrt{3})^2 = 0$

$(x + 3i + 3\sqrt{3})(x + 3i - 3\sqrt{3}) = 0$

Så de andra två lösningarna är

$x_2 = -3i - 3\sqrt{3}$

$x_3 = -3i + 3\sqrt{3}$

Oj, det måste jag studera ytterligare!

Kan någon gräva upp den exotiska kubregeln?

Det är inte precis nödvändigt att lära sig denna men jag tycker att det är ett kul fenomen att 

$x^3 - a = 0$

kan lösas utan Eulers formel endast utgående från (generaliserade) konjugatregeln och kvadratkomplettering. I princip kunde denna metod användas för att lösa ekvationen med verktygen från Ma2.

dajamanté skrev :

Tack till ni båda.

@Albiki :tack o lov på denna prov måste jag bara ange svar, inte skriva snug matematik i latex. Men jag ska försöka komma ihåg, jag lovar!

Hej!

Mitt inlägg handlade inte om att skriva snygg matematik i Latex, utan jag påpekade misstag i din redovisning som du hade straffats för om det hade varit en prövning. Det gäller att skriva korrekt matematik, inte snygg matematik.

Om du skriver korrekt matematik med en handstil som är knappt läsbar så är det fortfarande en korrekt lösning av problemet, jämfört med fullkomligt felaktig lösning som är snyggt typsatt.

Albiki

Albiki skrev :

dajamanté skrev :

Tack till ni båda.

@Albiki :tack o lov på denna prov måste jag bara ange svar, inte skriva snug matematik i latex. Men jag ska försöka komma ihåg, jag lovar!

Hej!

Mitt inlägg handlade inte om att skriva snygg matematik i Latex, utan jag påpekade misstag i din redovisning som du hade straffats för om det hade varit en prövning. Det gäller att skriva korrekt matematik, inte snygg matematik.

Om du skriver korrekt matematik med en handstil som är knappt läsbar så är det fortfarande en korrekt lösning av problemet, jämfört med fullkomligt felaktig lösning som är snyggt typsatt.

Albiki

Ja, jag menade inte snyggt i typ snygg handstil, utan snygg som ger full poäng :)

Du är rätt såklart..