Lös ekvation med rötter

Jag vet inte om det i detta fall är tillåtet att använda digitala hjälpmedel, typ räknare.

Men i så fall kan man skriva in 4-e gradsfunktionen och låta räknaren ta fram nollställen, rötter

Den hittar två stycken , $x_1=-\frac{1}{2} samt x_2=\frac{3}{2}$

Slutligen kan man med faktorsatsen och polynomdivision även få fram de två komplexa rötterna

Henning skrev:

Jag vet inte om det i detta fall är tillåtet att använda digitala hjälpmedel, typ räknare.

Men i så fall kan man skriva in 4-e gradsfunktionen och låta räknaren ta fram nollställen, rötter

Den hittar två stycken , $x_1=-\frac{1}{2} samt x_2=\frac{3}{2}$

Slutligen kan man med faktorsatsen och polynomdivision även få fram de två komplexa rötterna

Hej, tack för svar. Får tyvärr inte använda mig av miniräknare. 
Vill få fram nollställena och sedan använda mig av polynomdivision, men sitter fast på denna del

Du skulle också kunna testa med komplexa tal som rötter. I dessa fall förekommer dom parvis och är varandras konjugat.

För att börja enkelt kan man anta att roten är rent imaginär, dvs bara har en imaginärdel

Enklast möjliga är x=i
Men en titt på koefficienterna i ekvationer kanske ger att det inte är möjligt.

Men x=2i då - pröva det

Jag skulle inte skriva alla stegen så noggrant. T.ex. skulle jag utveckla potenserna för alla termer i samma steg.

Kanske kan beräkningsarbetet förenklas om polynomet skrivs om som

x(x(x(x–1)+13/4)–4)–3

(Delat med 4 i bägge led). 

PS Det finns olika varianter, kolla Horners Schema på wiki.

Henning skrev:

Du skulle också kunna testa med komplexa tal som rötter. I dessa fall förekommer dom parvis och är varandras konjugat.

För att börja enkelt kan man anta att roten är rent imaginär, dvs bara har en imaginärdel

Enklast möjliga är x=i
Men en titt på koefficienterna i ekvationer kanske ger att det inte är möjligt.

Men x=2i då - pröva det

Ekvationen är: $4x^4-4x^3+13x^2-16x-12=0$

Om vi prövar med x=0+2i, dvs x=2i (realdelen =0)
Vi har: $i=\sqrt{-1}\Rightarrow i^2=-1, i^3=-i, i^4=+1$

Insätts i ekvationen, vilket ger
VL : $$\begin{gathered} 4·{\left(2i\right)}^4-4·{\left(2i\right)}^3 +13·{\left(2i\right)}^2 -16·2i -12 = \\ =4·2^4-4·2^3·(-i)+13·2^2·(-1)-16·2·i-12= \\ =4·2^4-13·2^2-12 +4·2^3·i-16·2·i=64-52-12+32i-32i= \\ =0+0=0 \end{gathered}$$

HL: =0

Således är x=2i en rot till ekvationen
Nästa rot är konjugatet till denna, dvs x=-2i

Kommer du vidare nu med faktorsatsen och polynomdivision ?

Henning skrev:

Henning skrev:

Du skulle också kunna testa med komplexa tal som rötter. I dessa fall förekommer dom parvis och är varandras konjugat.

För att börja enkelt kan man anta att roten är rent imaginär, dvs bara har en imaginärdel

Enklast möjliga är x=i
Men en titt på koefficienterna i ekvationer kanske ger att det inte är möjligt.

Men x=2i då - pröva det

Ekvationen är: $4x^4-4x^3+13x^2-16x-12=0$

Om vi prövar med x=0+2i, dvs x=2i (realdelen =0)
Vi har: $i=\sqrt{-1}\Rightarrow i^2=-1, i^3=-i, i^4=+1$

Insätts i ekvationen, vilket ger
VL : $$\begin{gathered} 4·{\left(2i\right)}^4-4·{\left(2i\right)}^3 +13·{\left(2i\right)}^2 -16·2i -12 = \\ =4·2^4-4·2^3·(-i)+13·2^2·(-1)-16·2·i-12= \\ =4·2^4-13·2^2-12 +4·2^3·i-16·2·i=64-52-12+32i-32i= \\ =0+0=0 \end{gathered}$$

HL: =0

Således är x=2i en rot till ekvationen
Nästa rot är konjugatet till denna, dvs x=-2i

Kommer du vidare nu med faktorsatsen och polynomdivision ?

Hej, ser lovande ut men känner mig inte så bekväm med att pröva med olika imaginära tal. Förstår inte hur man vet om när man ska applicera det, ex x=2i eller x=i 

Det är ju enklast att börja med x=i, men man kommer ganska snart fram till att det inte fungerar med de koeficienter som finns framför x-termerna, typ 4,4,13,16
Medan en två framför i ger större möjlighet att fungera.--Vilket det visar sig göra

Här kan du läsa mer om komplexa tal vuid lösning av vissa ekvationer: Komplexa tal - Ekvationer

Nu kan du skriva 4-egradsekvationen på formen $(x-a)·(x-b)·(x-2i)·(x+2i)=0$

Där a och b är de rationella rötterna som återstår att ta fram
Den sista produkten i uttrycket blir $(x-2i)·(x+2i)=x^2+4$

Genom att dividera ursprungsuttrycket med detta uttryck via polynom division fås en 'vanlig' 2-gradsekvation ur vilken a och b kan tas fram.

Se mer om polynomdivision här: Polynomdivision