Lös ekvation med olika värden på ln

Hjälpmigplugga skrev:

Hej,

Jag ska lösa ekvationen 2ln(x+1) = ln2 + ln(x+5)

Detta har jag förenklat till: ln(2x + 10) = 2ln(x+1) . Jag ser att x > 5, så att det inte blir 0 eller mindre i någon parantes. Jag vet däremot inte hur jag gör nu när jag har olika antal ln-värden, vilket gör att jag inte kan stryka någon av dem.  Jag vet inte heller hur jag kan addera eller subtrahera med olika värden i paranteserna, även om jag skulle flytta över ett led till andra sidan. 

Tips på hur jag kan tänka?

Jag glömde nämna: jag får inte använda miniräknare. 

Använd att

$a\cdot \ln b=\ln b^a$

Hjälpmigplugga skrev:

Jag ser att x > 5, så att det inte blir 0 eller mindre i någon parantes. 

Nej det stämmer inte. x kan även vara mindre än 5.

Yngve skrev:

Hjälpmigplugga skrev:

Jag ser att x > 5, så att det inte blir 0 eller mindre i någon parantes. 

Nej det stämmer inte. x kan även vara mindre än 5.

Jasså? Jag tolkade min lärare en gång som att ln(0) inte är giltigt. Är e^0 giltigt? Är lite ny på det här området

Yngve skrev:

Hjälpmigplugga skrev:

Jag ser att x > 5, så att det inte blir 0 eller mindre i någon parantes. 

Nej det stämmer inte. x kan även vara mindre än 5.

Jasså? Jag tolkade min lärare en gång som att ln(0) inte är giltigt. Är e^0 giltigt? Är lite ny på det här området

tomast80 skrev:

Använd att

$a\cdot \ln b=\ln b^a$

Ahaa, låter rimligt. Ska prova att lösa det nu!

Hjälpmigplugga skrev:

Jasså? Jag tolkade min lärare en gång som att ln(0) inte är giltigt. Är e^0 giltigt? Är lite ny på det här området

Det stämmer att ln(0) är odefinierat. (Det är samma sak som att ekvationen e^x = 0 saknar lösning.)

Men villkoret x > 5 stämmer inte. Pröva med t.ex. x = 1 i din ekvation. Vad blir logaritmuttrycken då?

Det du vill göra är att säkerställa att det som står innanför parenteserna vid logaritmfunktionerna är större än 0, dvs du vill lösa olikheterna x+1 > 0 och x+5 > 0. Gör det så vi ser att du har koll på de delarna.

Yngve skrev:

Det du vill göra är att säkerställa att det som står innanför parenteserna vid logaritmfunktionerna är större än 0, dvs du vill lösa olikheterna x+1 > 0 och x+5 > 0. Gör det så vi ser att du har koll på de delarna.

Precis, för att få x+5>0 behöver x>5. Därför kan jag väl inte sätta in x=1, för då blir ena parantesen inte giltig? 

Visa mig steg för steg hur du löser olikheten x+5 > 0

Yngve skrev:

Visa mig hur du löser olikheten x+5 > 0

x>-5

Jag flyttar över 5:an till andra sidan. Nu ser jag...XD

Bra. Men tänk inte "flytta över". Det ökar bara risken för just det teckenfel som du råkade ut för.

Använd istället balansering precis som vid vanlig ekvationslösning.

Så här:

x+5 > 0

Subtrahera 5 från båda sidor:

x+5-5 > 0-5

Förenkla:

x > -5

Gör nu samma sak med den andra logaritmen, dvs hitta ett villkor för att ln(x+1) ska vara definierat.

Yngve skrev:

Bra. Men tänk inte "flytta över". Det ökar bara risken för just det teckenfel som du råkade ut för.

Använd istället balansering precis som vid vanlig ekvationslösning.

Så här:

x+5 > 0

Subtrahera 5 från båda sidor:

x+5-5 > 0-5

Förenkla:

x > -5

Gör nu samma sak med den andra logaritmen, dvs hitta ett villkor för att ln(x+1) ska vara definierat.

Yes: 1+x > 0

1+x-1 > -1  <=> x>-1

Då ser jag vilka de tillåtna x-värdena är. Ekvationen jag fick fram när jag förenklade HL (tillhörande min förenkling som står överst) blev: 9 = x^2 - 2x

Jag antar att det jag gör nu är att göra en värdetabell för att hitta alla x-värden. Om jag sätter in 1 i ekvationen, som du föreslog, så får jag dock -1 och inte 9, vilket gör det ogiltigt. Har jag tänkt fel någonstans?

Hjälpmigplugga skrev:

Yes: 1+x > 0

1+x-1 > -1  <=> x>-1

Då ser jag vilka de tillåtna x-värdena är.

Bra. Du har då två villkor på x för att ekvationen överhuvudtaget ska vara meningsfull, nämligen x > -5 och x > -1.  Du ser nu att det räcker att skriva x > -1 som villkor eftersom alla tal som uppfyller x > -1 även uppfyller x > -5.

Ekvationen jag fick fram när jag förenklade HL (tillhörande min förenkling som står överst) blev: 9 = x^2 - 2x

Nej det stämmer inte. Räknar du i huvudet eller på papper? Gör om och visa oss alla tankesteg och räknesteg på vägen så kan vi hjälpa dig att hitta felet.

Om jag sätter in 1 i ekvationen, som du föreslog, så får jag dock -1 och inte 9, vilket gör det ogiltigt. Har jag tänkt fel någonstans?

Det är skillnad på vilka värden på x som är tillåtna pga logaritmfunktionerna och vilka värden på x som faktiskt löser ekvationen.

Som vi har sett tidigare så är alla värden på x som är större än -1 tillåtna men inte alla dessa gör att ekvationen är uppfylld.

Jag skrev att du skulle pröva x = 1 i logaritmfunltionerna bara för att få dig att förstå att villkoret x > 5 inte stämde.

Yngve skrev:

Hjälpmigplugga skrev:

Ekvationen jag fick fram när jag förenklade HL (tillhörande min förenkling som står överst) blev: 9 = x^2 - 2x

Nej det stämmer inte. Räknar du i huvudet eller på papper? Gör om och visa oss alla tankesteg och räknesteg på vägen så kan vi hjälpa dig att hitta felet.

Absolut, såhär har jag tänkt:

Om jag sätter in 1 i ekvationen, som du föreslog, så får jag dock -1 och inte 9, vilket gör det ogiltigt. Har jag tänkt fel någonstans?

Det är skillnad på vilka värden på x som är tillåtna pga logaritmfunktionerna och vilka värden på x som faktiskt löser ekvationen.

Som vi har sett tidigare så är alla värden på x som är större än -1 tillåtna men inte alla dessa gör att ekvationen är uppfylld.

Jag skrev att du skulle pröva x = 1 i logaritmfunltionerna bara för att få dig att förstå att villkoret x > 5 inte stämde.

Ok, då är jag med 

Det här stämmer inte:

Istället gäller det att

$2\cdot\ln(x+1)=\ln((x+1)^2)=$

$=\ln(x^2+2x+1)$

=========

Nästa steg är däremot OK. Om ln(a) = ln(b) så gäller att a = b.

Men det är nog bra för dig att inte tänka "stryka ln" utan att istället använda balansmetoden för ekvationslösning även här.

Du har $\ln(a)=\ln(b)$

Ta "e upphöjt till" på båda sidor, dvs

$e^{\ln(a)}=e^{\ln(b)}$

Eftersom $e^{\ln(c)}=c$ per definition så får vi nu

$a=b$