Lös ekvation i form av (16^-y)

Hallå!

Jag har en ekvation : $16^{y - 1} + 7 \times 4^{y - 2} = \frac{15}{4}$ , Då tänker jag såhär: $\ln (16^{y - 1}) + \ln (7) \times \ln (4^{y - 2}) = \ln (\frac{15}{4}) (y - 1) \ln (16) + \ln (7) \times (y - 2) \ln (4) = \ln (\frac{15}{4})$

Men hur går jag vidare här? Dividera HL med alla ln i VL?

EDIT: Läste fel! Glöm!

Min första tanke är att multiplicera med $y^{2}$ och få en vanlig andragradsekvation.
(och så får man ta hand om y=0 som inte är ok.

Nej första steget stämmer inte. Du kan inte applicera logaritmen på enskilda termerna i VL, utan du måste applicera det på hela VL.

Utan börja med att skriv om

$16^{y - 1} + 7\cdot 4^{y - 2} = \frac{16^y}{16} + 7\cdot \frac{4^y}{4^2} = \frac{4^{2y}}{16} + 7\cdot \frac{4^y}{16}$

Så du får ekvationen

$\frac{4^{2y}}{16} + 7\cdot \frac{4^y}{16} = \frac{15}{4}$

Ser du nu någon substitution du kan göra?

Varför stämmer ej det om denna gör det: $(\frac{4}{5})^{x} = 6^{1 - x} \to \ln {(\frac{4}{5})}^{x} = \ln (6^{1 - x}) x \times \ln (\frac{15}{4}) = (1 - x) \times \ln (6)$

Det är ju ungefär samma sorts ekvation i tråden här?

$\frac{4^{2 y}}{16} + \frac{4^{y}}{16} = \frac{15}{28} \frac{4^{y}}{16} = t t^{2} + t - \frac{15}{28} = 0$

Tänker jag rätt med substitutionen?

Du har trollat in $15/4$ i VL i logaritmen i den där lösningen, fast det ska vara $4/5$ .

Nej substitutionen är inte helt korrekt, utan det ska enbart vara

$t = 4^y$

Jaha, jag var för snabb! Men varför kan man lösa den ekvationen så om inte den i trådens början kan?

$4^{y} (\frac{4^{y}}{16} + \frac{1}{16}) = \frac{15}{28} t (\frac{t}{16} + \frac{1}{16}) - \frac{15}{28} = 0 \frac{t^{2}}{16} + \frac{t}{16} - \frac{15}{28} = 0$

Det blir ju knasigare tal här, känns som det bör gå med att bryta ut $\frac{4^{y}}{16}$

Nu tappade du bort en faktor $7$ . Du har alltså att

$\frac{(4^y)^2}{16} + 7\frac{4^y}{16} = \frac{15}{4}$

Låter man nu $t = 4^y$ så får man

$\frac{t^2}{16} + 7\frac{t}{16} = \frac{15}{4}$

Denna andragradare bör du kunna lösa.

Skillnaden mellan denna och den andra uppgiften är att du applicerar logaritmen på hela ledet i den andra. Om du skulle göra samma sak här så får du

$\ln\left(16^{y - 1} + 7\cdot 4^{y - 2}\right) = \ln\left(\frac{15}{4}\right)$

Vilket inte leder dig närmare en lösning.

Svara

Visa senaste svar