Lös ekvation i form av (16^-y)

EDIT: Läste fel! Glöm!

Min första tanke är att multiplicera med $y^2$ och få en vanlig andragradsekvation.
(och så får man ta hand om y=0 som inte är ok.

Nej första steget stämmer inte. Du kan inte applicera logaritmen på enskilda termerna i VL, utan du måste applicera det på hela VL.

Utan börja med att skriv om

$16^{y - 1} + 7\cdot 4^{y - 2} = \frac{16^y}{16} + 7\cdot \frac{4^y}{4^2} = \frac{4^{2y}}{16} + 7\cdot \frac{4^y}{16}$

Så du får ekvationen

$\frac{4^{2y}}{16} + 7\cdot \frac{4^y}{16} = \frac{15}{4}$

Ser du nu någon substitution du kan göra?

Varför stämmer ej det om denna gör det: $$\begin{gathered} (\frac{4}{5}{)}^x=6^{1-x}\to \ln {\left(\frac{4}{5}\right)}^x=\ln \left(6^{1-x}\right) \\ x\times \ln \left(\frac{15}{4}\right)=(1-x)\times \ln \left(6\right) \end{gathered}$$

Det är ju ungefär samma sorts ekvation i tråden här?

$$\begin{gathered} \frac{4^{2y}}{16}+\frac{4^y}{16}=\frac{15}{28} \\ \frac{4^y}{16}=t \\ {t}^2+t-\frac{15}{28}=0 \end{gathered}$$

Tänker jag rätt med substitutionen?

Du har trollat in $15/4$ i VL i logaritmen i den där lösningen, fast det ska vara $4/5$.

Nej substitutionen är inte helt korrekt, utan det ska enbart vara

$t = 4^y$

Jaha, jag var för snabb! Men varför kan man lösa den ekvationen så om inte den i trådens början kan?

$$\begin{gathered} 4^y(\frac{4^y}{16}+\frac{1}{16})=\frac{15}{28} \\ t(\frac{t}{16}+\frac{1}{16})-\frac{15}{28}=0 \\ \frac{t^2}{16}+\frac{t}{16}-\frac{15}{28}=0 \end{gathered}$$

Det blir ju knasigare tal här, känns som det bör gå med att bryta ut $\frac{4^y}{16}$

Nu tappade du bort en faktor $7$. Du har alltså att

$\frac{(4^y)^2}{16} + 7\frac{4^y}{16} = \frac{15}{4}$

Låter man nu $t = 4^y$ så får man

$\frac{t^2}{16} + 7\frac{t}{16} = \frac{15}{4}$

Denna andragradare bör du kunna lösa.

Skillnaden mellan denna och den andra uppgiften är att du applicerar logaritmen på hela ledet i den andra. Om du skulle göra samma sak här så får du

$\ln\left(16^{y - 1} + 7\cdot 4^{y - 2}\right) = \ln\left(\frac{15}{4}\right)$

Vilket inte leder dig närmare en lösning.