Lös Ekvation

Ska allt vara heltal?

Enligt uppgiften så ska de vara reella tal

Det som jag kom på är att:

Först försökte jag prova att det inte finns någon heltalslösning för denna:

För att bevisa att det inte finns någon lösning på ekvationen

x^2 + 4x + 5 + z^2 = 2y - 2y^2 + zy

för heltal x, y och z måste man göra lite analys. Man kan ordna om ekvationen för att isolera y, och se om man kan observera något som gör ekvationen omöjlig att uppfylla:

2y^2 - y - x^2 - 4x - 5 - z^2 = 0

Man kan se detta som en andragradsekvation i y. Genom att använda kvadratformeln (y = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a) kan vi hitta rötterna till ekvationen:

y = (1 ± sqrt(1 + 8x^2 + 32x + 20 + 8z^2)) / 4

För att y ska vara ett heltal måste termen under kvadratroten vara en perfekt kvadrat. Med andra ord måste man hitta heltal x och z så att 1 + 8x^2 + 32x + 20 + 8z^2 är en perfekt kvadrat.

Låt mig säga att p^2 = 1 + 8x^2 + 32x + 20 + 8z^2.

Att skriva om detta ger mig:

p^2 = 8(x^2 + 4x + z^2) + 21.

Nu kan man se att den vänstra sidan är en perfekt kvadrat, och den högra sidan kan ses som summan av ett tal som är en multipel av 8 och ett tal 21 som är 5 mod 8. Kvadraten på ett heltal kan bara vara 0, 1 eller 4 mod 8. Så den högra sidan kan inte vara en perfekt kvadrat, vilket betyder att vår ursprungliga ekvation inte har några heltalslösningar.

Vet inte om det är riktig korrekt men kan ej bevisa det på ett annat sätt och samtidigt kan jag inte komma på ett bevisning att det inte finns lösningar som är reella tal

Gör ett uttryck f(x,y,z) så att ekvationen är f(x,y,z) = 0 och försök sedan hitta extrempunkter till f.

Det ser ut som du har gjort en korrekt multipliceringssteg för att eliminera nämnarna i ekvationen. Men det finns några felaktigheter i den följande formeln du skrev.

Om vi multiplicerar varje term med xy, så får vi:

xy(x+4)/y + xy(5+z^2)/(xy) = (2xy(1-y+z))/x

Det första steget är korrekt: (x+4)x + (5+z^2) = 2(1-y+z)y

Fortsättningen blir dock:

x^2 + 4x + 5 + z^2 = 2y - 2y^2 + 2zy

Vi har multiplicerat om termen 2(1-y+z)y och fått 2zy istället för 2yz. Detta beror på att ordningen av variablerna har ändrats.

Korrigeringen blir:

x^2 + 4x + 5 + z^2 = 2y - 2y^2 + 2yz

Nu har vi den korrekta formeln baserat på det du gjorde. Du kan fortsätta lösa ekvationen genom att försöka isolera en variabel eller förenkla termerna ytterligare.