lös e^z = 3^(1/2) +2i

Hitta en lösning till ekvationen genom att bestämma z i formen x+iy. Rätt svar ln $\sqrt{7} + 0.86 i$

b) $e^{z} = \sqrt{3} + 2 i$ Jag skrev om det till $z = \ln (\sqrt{3} + 21)$ men hur fortsätter jag härifrån. När jag istället bestämmer den polära formen får jag 7^(1/2) + 0.86i utan ln. Har jag gort fel eller står det fel i facit?

Om man räknar lite med absolutbelopp:

$e^{z} = e^{x + y i} = e^{x} * e^{i y} = \sqrt{3} + 2 * i |e^{z}| = |e^{x} * e^{i y}| = |e^{x}| * |e^{i y}| = |e^{x}| * 1 = |e^{x}| |\sqrt{3} + 2 * i| = \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + 2^{2}} = \sqrt{3 + 4} = \sqrt{7} |e^{x}| = \sqrt{7}$

Då e^x garanterat är ett icke-negativt tal får vi att $e^{x} = \sqrt{7}$ , vilket ger att $x = \ln (\sqrt{7})$ . Så facit har rätt.

Så om jag förstår rätt måste man bestämma b värdet separat genom att göra om e^z till polär form eller finns det ett annat sätt?

Hej!

Ett sätt är att skriva om HL i polärform så att följande ekvation erhålls,

$e^{z} = \sqrt{7} * e^{i * A r c \tan (\frac{2}{\sqrt{3}})}$

Sedan logaritmera båda leden.

Logaritmering av HL ger

$\ln (\sqrt{7} * e^{i * a r c \tan (2 / \sqrt{3})}) = {\ln (a * b) = \ln (a) + \ln (b)} = \ln (\sqrt{7}) + \ln (e^{i * a r c \tan (2 / \sqrt{3})})$

Hoppas det hjälpte!

Svara

Visa senaste svar