Lös differentialekvationssystemet med laplacetransformer

Ekvation två ger dig ett förhållande mellan X(S) och Y(S), substituera och erhåll:

$s^2Y(s)+Y(s)=\frac{1}{s^2}$

Slutligen, för att undvika faltning i tidsplanet kan det vara bra att lägga märke till att

$\frac{1}{s^2(s^2+1)}=\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s^2+1}$

Tack Guggle men du får urästa mig, jag förstår inte vad jag ska substituera.

$s^{2}Y \left(s\right)$är om jag förstår rätt en laplacetransform för en andraderivata. Hur fick du fram denna?

Mvh

Felicia

Du har själv kommit fram till att

$-sY(s)+X(s)=0$

Om du lägger lägger till sY(s) på båda sidor får du:

$X(s)=sY(s)$

Detta uttryck för X(s) kan du sedan sätta in i din första ekvation:

$sX(s)+Y(s)=\frac{1}{s^2} \Rightarrow s^2Y(s)+Y(s)=\frac{1}{s^2}$

(Och ja, det är en andraderivata!)

Nu ser jag sambandet, tack så mycket :) 

Hej!

Om du Laplacetransformerar systemet av differentialekvationer i tidsplanet ($t$) så får du ett motsvarande system av algebraiska ekvationer i frekvensplanet ($s$). 

    $\begin{matrix}sX(s) + Y(s) &= \frac{1}{s^2}\\-sY(s) + X(s) &=0\end{matrix}$

Albiki

Hej! 

Multiplicera den första ekvationen med $s^2$ och den andra ekvationen med $s$ för att få det ekvivalenta systemet 

    $\begin{matrix}s^3X(s) + s^2Y(s) &= 1\\sX(s) - s^2Y(s) &= 0\end{matrix}.$

Addera de två ekvationerna för att få den nya ekvationen

    $\displaystyle s(1+s^2)X(s) = 1.$ 

Med hjälp av den ursprungliga ekvationen 2 kan du dra slutsatsen att

    $\displaystyle s^2(1+s^2)Y(s) = 1.$

En partialbråksuppdelning av det algebraiska uttrycket för $X(s)$ och en partialbråksuppdelning för $Y(s)$ gör att du kan använda en tabell över Laplacetransformer för att finna funktionerna $x(t)$ och $y(t)$ som löser de två differentialekvationerna. 

Albiki