Lös differentialekvationen om pajens temperatur är 20C då den sätts in i ugnen

En paj tillagas i en ugn med temperaturen 200C och värms upp enligt differentialekvation dT/dt = -k(T-200), där T är temperaturen i C efter t minuter och k en konstant.

a) Lös differentialekvation om pajens temperatur är 20C då den sätts i ugnen.
b) bestäm k om pajens temperatur är 120C efter 30 minuter.

y' = -k(T-200)

kan vi inte bara integrera och få $y = - k (T t - 200 t) + C$

y(0) = 20 ger att C = 20

så vi får lösningen $y = - k (T t - 200 t) + 20$

men det stämmer inte enligt facit

om vi istället skriver en exponentialfunktion

$y' + k (T - 200) = 0 y = C * e^{- k t} y (0) = 20 C = 20 ?$

Vad gör vi med (T-200)?

Det blir enklare om du håller dig till en variabel. Differentialekvationen som ges i frågan är $T' = - k (T - 200)$ .
Vill du använda y blir det enklare om du byter ut alla T mot y.

I nästa steg kan du bryta ut parentesen så bör du se vad differentialekvationen ska ha för lösning.

Calle_K skrev:
Det blir enklare om du håller dig till en variabel. Differentialekvationen som ges i frågan är $T' = - k (T - 200)$ .
Vill du använda y blir det enklare om du byter ut alla T mot y.

I nästa steg kan du bryta ut parentesen så bör du se vad differentialekvationen ska ha för lösning.

Vad menar du med att bryta ut parentesen?

Jag får samma sak igen dvs $T = C e^{- k T}$

Vi har ekvationen $T' = k (200 - T)$ (bytte tecken innanför parentesen för att få bort minustecknet framför).

Bryter vi ut parentesen får vi $T' = 200 k - k T \Rightarrow T' + k T = 200 k$

Detta är en inhomogen differentialekvation som måste lösas med en homogen lösning + en partikulär lösning.

Calle_K skrev:
Vi har ekvationen $T' = k (200 - T)$ (bytte tecken innanför parentesen för att få bort minustecknet framför).

Bryter vi ut parentesen får vi $T' = 200 k - k T \Rightarrow T' + k T = 200 k$

Detta är en inhomogen differentialekvation som måste lösas med en homogen lösning + en partikulär lösning.

jag vet inte riktigt hur jag ska bestämma den partikulära lösningen för vi bara har en konstant på H.L och jag kan inte använda insättning

Här finns en beskrivning med exempel på hur man löser den här typen av diff ekvationer

http://www.matteguiden.se/matte-e/differentialekvationer/ekvationer-av-forsta-ordningen/#Inhomogena

Svara

Visa senaste svar