14 svar

253 visningar

Kovac behöver inte mer hjälp

Lös differentialekvationen genom u,v (flervariabelanalys)

Lös för x >0, y >0, differentialekvationen

$x \frac{d f}{d x} + y \frac{d f}{d y} = y$ genom att införa x= u, y= u/v.

Lösning:

$x = u - - > \frac{d}{d x} = 1$

$y = \frac{u}{v} - - > v = \frac{u}{y} = \frac{x}{y} - - > \frac{d}{d x} = \frac{1}{y}, \frac{d}{d y} = - \frac{x}{y^{2}}$

Sedan vet jag inte vad man ska göra? Jag vet inte ens varför jag tog de partiella derivatorna förutom att de finns med i ursprungsformeln så jag chansade. Men har sett att andra skribenter har tagit fram $\frac{y}{x} = \frac{1}{v} (v = \frac{x}{y} - - > v y = x - - > \frac{v y}{x} = 1 - - > \frac{y}{x} = \frac{1}{v})$ , varför vet jag inte? Någon som kan förklara tankeplanen?

Edit:

Sätter jag in i ursprungsfunktionen får jag;

$x (\frac{1}{y}) + y (\frac{- x}{y^{2}}) = \frac{x}{\frac{x}{y}}$ ---> $\frac{x}{y} - \frac{x}{y} = y$ --> $y = 0$

Nyckeln här är kedjeregeln i flera variabler.

Den låter dig uttrycka $\partial f/\partial x$ och $\partial f/\partial y$ i $u$ och $v$ .

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\cdot\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial v}\cdot\dfrac{\partial v}{\partial x}$

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\cdot\dfrac{\partial u}{\partial y}+\dfrac{\partial f}{\partial v}\cdot\dfrac{\partial v}{\partial y}$

Vad får du för derivator om du utnyttjar detta?

Använd kedjeregeln

$\frac{\partial f}{\partial x}$ = $\frac{\partial f}{\partial u}$ $\frac{\partial u}{\partial x}$ + $\frac{\partial f}{\partial v}$ $\frac{\partial v}{\partial x}$ = $\frac{\partial f}{\partial u}$ + $\frac{v}{u} \frac{\partial f}{\partial v}$

$\frac{\partial f}{\partial y}$ = $\frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y}$ + $\frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y}$ = - $\frac{v^{2}}{u} \frac{\partial f}{\partial v}$ .

PATENTERAMERA skrev:
Använd kedjeregeln
$\frac{\partial f}{\partial x}$ = $\frac{\partial f}{\partial u}$ $\frac{\partial u}{\partial x}$ + $\frac{\partial f}{\partial v}$ $\frac{\partial v}{\partial x}$ = $\frac{\partial f}{\partial u}$ + $\frac{v}{u} \frac{\partial f}{\partial v}$
$\frac{\partial f}{\partial y}$ = $\frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y}$ + $\frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y}$ = - $\frac{v^{2}}{u} \frac{\partial f}{\partial v}$ .

Det kanske nästan blir mindre jobb om man i detta stadium lämnar kvar variablerna $x$ och $y$ :

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial u}+\dfrac{1}{y}\cdot\dfrac{\partial f}{\partial v}$

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=-\dfrac{x}{y^2}\cdot\dfrac{\partial f}{\partial v}$

men det är väl en smaksak.

AlvinB skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Använd kedjeregeln
$\frac{\partial f}{\partial x}$ = $\frac{\partial f}{\partial u}$ $\frac{\partial u}{\partial x}$ + $\frac{\partial f}{\partial v}$ $\frac{\partial v}{\partial x}$ = $\frac{\partial f}{\partial u}$ + $\frac{v}{u} \frac{\partial f}{\partial v}$
$\frac{\partial f}{\partial y}$ = $\frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y}$ + $\frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y}$ = - $\frac{v^{2}}{u} \frac{\partial f}{\partial v}$ .
Det kanske nästan blir mindre jobb om man i detta stadium lämnar kvar variablerna $x$ och $y$ :
$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial u}+\dfrac{1}{y}\cdot\dfrac{\partial f}{\partial v}$
$\dfrac{\partial f}{\partial y}=-\dfrac{x}{y^2}\cdot\dfrac{\partial f}{\partial v}$
men det är väl en smaksak.

Ok nu har jag dem, ska jag stoppa in dem i ursprungsformeln då?

Varför tog andra skribenter fram sambandet y/x = 1/v ?

Lösning:

$x (u' + \frac{f' v}{y}) + y (- \frac{f' v x}{y^{2}}) = y - - > x u' + \frac{x f' v}{y} - \frac{f' v x}{y} = y - - > x u' = y$

Svaret i facit säger f(x,y) = y + g(x/y). hur får de fram detta?

Nu vet jag inte vad du har gjort. Vad är $u'$ ?

Använd riktig notation, d.v.s. $\partial f/\partial u$ och $\partial f/\partial v$ .

AlvinB skrev:
Nu vet jag inte vad du har gjort. Vad är $u'$ ?
Använd riktig notation, d.v.s. $\partial f/\partial u$ och $\partial f/\partial v$ .

oj, skulle stå f'u. dvs df/du.

Jag har alltså lagt in de partiella derivatorna enligt kedjeregeln i ursprungsformeln

$- - > x \frac{d f}{d u} = y$ . Hur går jag vidare härifrån?

Kovac skrev:
AlvinB skrev:
Nu vet jag inte vad du har gjort. Vad är $u'$ ?
Använd riktig notation, d.v.s. $\partial f/\partial u$ och $\partial f/\partial v$ .
oj, skulle stå f'u. dvs df/du.

Jag har alltså lagt in de partiella derivatorna enligt kedjeregeln i ursprungsformeln
$- - > x \frac{d f}{d u} = y$ . Hur går jag vidare härifrån?

x = u, y = u/v

$u \frac{\partial f}{\partial u}$ = $\frac{u}{v}$ , förkorta bort u

$\frac{\partial f}{\partial u}$ = $\frac{1}{v}$ .

Resten klarar du själv.

PATENTERAMERA skrev:
Kovac skrev:
AlvinB skrev:
Nu vet jag inte vad du har gjort. Vad är $u'$ ?
Använd riktig notation, d.v.s. $\partial f/\partial u$ och $\partial f/\partial v$ .
oj, skulle stå f'u. dvs df/du.

Jag har alltså lagt in de partiella derivatorna enligt kedjeregeln i ursprungsformeln
$- - > x \frac{d f}{d u} = y$ . Hur går jag vidare härifrån?
x = u, y = u/v
$u \frac{\partial f}{\partial u}$ = $\frac{u}{v}$ , förkorta bort u
$\frac{\partial f}{\partial u}$ = $\frac{1}{v}$ .
Resten klarar du själv.

Det är just detta jag inte fattar. Vad ska jag med $\frac{d f}{d u} = \frac{1}{v}$ till? Hur går jag vidare?

Vi mynnar ut i ekvationen

$\dfrac{\partial f}{\partial u}=\dfrac{1}{v}$

Det fina med den här ekvationen är att det bara är att integrera båda led med avseende på $u$ för att lösa den!

$\displaystyle\int\frac{\partial f}{\partial u}\ du=\int\frac{1}{v}\ du$

$\displaystyle f\left(u,v\right)=\int\frac{1}{v}\ du$

AlvinB skrev:
Vi mynnar ut i ekvationen
$\dfrac{\partial f}{\partial u}=\dfrac{1}{v}$
Det fina med den här ekvationen är att det bara är att integrera båda led med avseende på $u$ för att lösa den!
$\displaystyle\int\frac{\partial f}{\partial u}\ du=\int\frac{1}{v}\ du$
$\displaystyle f\left(u,v\right)=\int\frac{1}{v}\ du$

Jättefint, så hur kommer man fram till svaret i facit som är f(x,y) = y + g(x/y) ??

Kovac skrev:
AlvinB skrev:
Vi mynnar ut i ekvationen
$\dfrac{\partial f}{\partial u}=\dfrac{1}{v}$
Det fina med den här ekvationen är att det bara är att integrera båda led med avseende på $u$ för att lösa den!
$\displaystyle\int\frac{\partial f}{\partial u}\ du=\int\frac{1}{v}\ du$
$\displaystyle f\left(u,v\right)=\int\frac{1}{v}\ du$
Jättefint, så hur kommer man fram till svaret i facit som är f(x,y) = y + g(x/y) ??

$\int \frac{d u}{v}$ = $\frac{u}{v} + g (v)$ = y + g(x/y).

PATENTERAMERA skrev:
Kovac skrev:
AlvinB skrev:
Vi mynnar ut i ekvationen
$\dfrac{\partial f}{\partial u}=\dfrac{1}{v}$
Det fina med den här ekvationen är att det bara är att integrera båda led med avseende på $u$ för att lösa den!
$\displaystyle\int\frac{\partial f}{\partial u}\ du=\int\frac{1}{v}\ du$
$\displaystyle f\left(u,v\right)=\int\frac{1}{v}\ du$
Jättefint, så hur kommer man fram till svaret i facit som är f(x,y) = y + g(x/y) ??
$\int \frac{d u}{v}$ = $\frac{u}{v} + g (v)$ = y + g(x/y).

tack! men vart får du g(v) ifrån?

På samma sätt som du får en godtycklig konstant när du tar primitiv funktion av en envariabelfunktion, t.ex.

$\displaystyle\int 2x\ dx=x^2+C$

får du en godtycklig funktion av variabeln du inte integrerar med avseende på (i detta fall $v$ ) när du tar primitiv funktion av en tvåvariabelfunktion:

$\displaystyle\int\frac{1}{v}\ du=\dfrac{u}{v}+g\left(v\right)$

Anledningen till detta är ganska enkel. När du deriverar en funktion av två variabler med avseende på den ena blir allt som enbart beror av den andra variabeln noll. När vi då tar primitiv funktion ("deriverar baklänges") kan vi lägga till en godtycklig funktion av den andra variabeln och ändå få samma derivata.

Kovac skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Kovac skrev:
AlvinB skrev:
Vi mynnar ut i ekvationen
$\dfrac{\partial f}{\partial u}=\dfrac{1}{v}$
Det fina med den här ekvationen är att det bara är att integrera båda led med avseende på $u$ för att lösa den!
$\displaystyle\int\frac{\partial f}{\partial u}\ du=\int\frac{1}{v}\ du$
$\displaystyle f\left(u,v\right)=\int\frac{1}{v}\ du$
Jättefint, så hur kommer man fram till svaret i facit som är f(x,y) = y + g(x/y) ??
$\int \frac{d u}{v}$ = $\frac{u}{v} + g (v)$ = y + g(x/y).
tack! men vart får du g(v) ifrån?

Detta motsvarar integrationskonstantanten. Men det blir inte en konstant utan en godtycklig funktion av v istället. Du kan lägga till en godtycklig funktion av v till u/v utan att den partiella derivatan map u ändras.

$\frac{\partial}{\partial u}$ $(\frac{u}{v} + g (v))$ = $\frac{1}{v}$ + 0.

Svara

Visa senaste svar