Lös det linjära ekvationssystemet

Hej

Jag skulle ha börjat med följande radoperationer: $-2R_1+3R_2=...$

Vi kan redan nu se att systemet är underbestämt vilket gör att vi kommer troligtvis få en parameterlösning.

Kommer du vidare?

jonis10 skrev:

Hej

Jag skulle ha börjat med följande radoperationer: $-2R_1+3R_2=...$

Vi kan redan nu se att systemet är underbestämt vilket gör att vi kommer troligtvis få en parameterlösning.

Kommer du vidare?

 tack! nu tror jag att det gick åt rätt håll, x1=2 x2=-1 x3=1.

lamayo skrev:

jonis10 skrev:

Hej

Jag skulle ha börjat med följande radoperationer: $-2R_1+3R_2=...$

Vi kan redan nu se att systemet är underbestämt vilket gör att vi kommer troligtvis få en parameterlösning.

Kommer du vidare?

 tack! nu tror jag att det gick åt rätt håll, x1=2 x2=-1 x3=1.

Ja det är riktigt, men det finns flera lösningar!

T.ex: $$\begin{gathered} (x_1,x_2,x_3)=(3,-2,2) \\ (x_1,x_2,x_3)=(1,0,0) \end{gathered}$$

Hmm det kanske finns oändligt många lösningar eller?

Grafiskt kan båda ekvationerna ses som varsitt plan. Vad blir skärningen mellan två plan?

jonis10 skrev:

lamayo skrev:

Visa föregående citat

jonis10 skrev:

Hej

Jag skulle ha börjat med följande radoperationer: $-2R_1+3R_2=...$

Vi kan redan nu se att systemet är underbestämt vilket gör att vi kommer troligtvis få en parameterlösning.

Kommer du vidare?

 tack! nu tror jag att det gick åt rätt håll, x1=2 x2=-1 x3=1.

Ja det är riktigt, men det finns flera lösningar!

T.ex: $$\begin{gathered} (x_1,x_2,x_3)=(3,-2,2) \\ (x_1,x_2,x_3)=(1,0,0) \end{gathered}$$

Hmm det kanske finns oändligt många lösningar eller?

 ja, eftersom en av variablerna kan anta vilket värde som helst. 

tomast80 skrev:

Grafiskt kan båda ekvationerna ses som varsitt plan. Vad blir skärningen mellan två plan?

 Det är väll oändligt många skärningspunkter?

lamayo skrev:

tomast80 skrev:

Grafiskt kan båda ekvationerna ses som varsitt plan. Vad blir skärningen mellan två plan?

 Det är väll oändligt många skärningspunkter?

 Ja det stämmer.

Två plan skär varandra längs en linje (om de inte är parallella eller identiska). Denna linje består av oändligt många punkter.

-----

Jämför det tvådimensionella fallet där två linjer skär varandra i en punkt (om de inte är parallella eller identiska).

lamayo skrev:

tomast80 skrev:

Grafiskt kan båda ekvationerna ses som varsitt plan. Vad blir skärningen mellan två plan?

 Det är väll oändligt många skärningspunkter?

 Har du gått igenom parameterlösningar?

jonis10 skrev:

lamayo skrev:

Visa föregående citat

tomast80 skrev:

Grafiskt kan båda ekvationerna ses som varsitt plan. Vad blir skärningen mellan två plan?

 Det är väll oändligt många skärningspunkter?

 Har du gått igenom parameterlösningar?

 Ja

Hej!

Multiplicera Ekvation 1 med talet $2$ och multiplicera Ekvation 2 med talet $(-3)$.

    $\displaystyle \left\{\begin{matrix}6x_{1}+8x_{2}+2x_{3}=&6\\-6x_{1}+3x_{2}+9x_{3}=&-6\end{matrix}\right.$

Addera Ekvation 1 till Ekvation 2.

    $\displaystyle\left\{\begin{matrix}6x_{1}+8x_{2}+2x_{3}=&6\\0x_{1}+11x_{2}+11x_{3}=&0\end{matrix}\right.$

Multiplicera Ekvation 1 med talet $11$ och multiplicera Ekvation 2 med talet $(-2)$.

    $\displaystyle\left\{\begin{matrix}66x_{1}+88x_{2}+22x_{3}=&66\\0x_{1}-22x_{2}-22x_{3}=&0\end{matrix}\right.$

Addera Ekvation 2 till Ekvation 1.

    $\displaystyle\left\{\begin{matrix}66x_{1}+66x_{2}+0x_{3}=&66\\0x_{1}-11x_{2}-11x_{3}=&0\end{matrix}\right.$

Dividera Ekvation 1 med talet $66$ och dividera Ekvation 2 med talet $-11$.

    $\displaystyle\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=&1\\x_{2}+x_{3}=&0\end{matrix}\right.$

Ekvationens lösningar är

    $\displaystyle (x_1,x_2,x_3)=(x_{1},1-x_{1},x_{1}-1) = (0,1,-1)+x_{1}(1,-1,1)$

där $x_{1}$ kan vara vilket tal som helst (en parameter). Lösningarna ligger alltså på en rät linje i det tredimensionella rummet; linjen går genom punkten $(0,1,-1)$ och har riktningsvektorn $(1,-1,1).$