Lokalt minimum

Maja9999 skrev:

Jag förstår inte varför det inte kan finnas ett lokalt minimum. Om man gör en hesse matris så får man enligt den att det finns ett lokalt minimum. Men sen i facit skriver de att man ska kolla på de partiella derivatorna, så som man gör för att leta kritiska punkter. Jag förstår inte varför det inte kan finnas minimum. Är det för att vi endast söker lokalt och inte globalt eftersom det inte är över en mängd vi kollar? Men ändå så står det ju att hesse matrisen ger ett LOKALT min?

Är (1,2) en stationär punkt? Om inte, så gäller inte SATS 2.

Smaragdalena skrev:

Maja9999 skrev:

Jag förstår inte varför det inte kan finnas ett lokalt minimum. Om man gör en hesse matris så får man enligt den att det finns ett lokalt minimum. Men sen i facit skriver de att man ska kolla på de partiella derivatorna, så som man gör för att leta kritiska punkter. Jag förstår inte varför det inte kan finnas minimum. Är det för att vi endast söker lokalt och inte globalt eftersom det inte är över en mängd vi kollar? Men ändå så står det ju att hesse matrisen ger ett LOKALT min?

Är (1,2) en stationär punkt? Om inte, så gäller inte SATS 2.

Hmm vänta vad är en stationär punkt? Det är väl samma som en kritisk punkt? Alltså där gradienten är 0?

Det var så långe sedan jag läste det här, så jag är inte helt säker på alla beteckningar... I alla fall menar jag att alla partiella derivator skall ha värdet 0 för att SATS 2 skall kunna användas.

Smaragdalena skrev:

Det var så långe sedan jag läste det här, så jag är inte helt säker på alla beteckningar... I alla fall menar jag att alla partiella derivator skall ha värdet 0 för att SATS 2 skall kunna användas.

Aha okej, det har jag aldrig hört. Men tack så mycket! Vet du vad jag kan söka på för att läsa mer om det? Eller asså är det något sats eller liknande

Direkt från Wikipedia:

En kritisk punkt för en deriverbar funktion är en punkt där alla partiella derivator är noll. Ett annat namn för kritiska punkter är stationära punkter.

Det står i SATS 2 att den gäller om punkten (a,b) är en stationär punkt. I det här fallet är punkten (1,2) inte en stationär punkt, så SATS 2 gäller inte.

Maja9999 skrev:

Smaragdalena skrev:

Det var så långe sedan jag läste det här, så jag är inte helt säker på alla beteckningar... I alla fall menar jag att alla partiella derivator skall ha värdet 0 för att SATS 2 skall kunna användas.

Aha okej, det har jag aldrig hört. Men tack så mycket! Vet du vad jag kan söka på för att läsa mer om det? Eller asså är det något sats eller liknande

(Disclaimer: jag pluggar också till tenta i flervariabelanalys just nu, jag kan därför inte antas vara någon expert på området)

Men om du tänker rent praktiskt vad det innebär att förstaderivatorna är $0$, så är det att $\nabla f = \vec 0$. För att en punkt ska vara ett lokalt max, min eller sadelpunkt krävs (bland annat) att $\nabla f = \vec 0$.

Du kan kolla på:

Calculus III - Relative Minimums and Maximums (lamar.edu), där det bland annat står det jag precis hävdade.

(Jag såg att Smaragdalena hann före mig att påpeka detta :))

Smaragdalena skrev:

Direkt från Wikipedia:

En kritisk punkt för en deriverbar funktion är en punkt där alla partiella derivator är noll. Ett annat namn för kritiska punkter är stationära punkter.

Det står i SATS 2 att den gäller om punkten (a,b) är en stationär punkt. I det här fallet är punkten (1,2) inte en stationär punkt, så SATS 2 gäller inte.

Aa okej. Men så en punkt behöver alltså ALLTID ha partiella derivator som är noll? Så när man ska kolla tex randpunkter så ska man kolla om partiella derivatorna är noll? 

Om du vill kunna använda SATS 2 så måste alla partiella derivator ha värdet 0. Det finns ingenting som säger att du MÅSTE använda SATS 2 i en viss uppgift. I den här uppgiften, till exempel, behövs den inte. Eftersom (1,2) är en inre punkt behäver du inte bry dig om randpunkter heller.

Om det är en uppgift där det handlar om randpunkter så kan du t ex parametrisera randen och undersäka om det finns någon derivata som är 0, och om själva randen har någon ändpunkt så behöver du undersöka denna separat.

Smaragdalena skrev:

Om du vill kunna använda SATS 2 så måste alla partiella derivator ha värdet 0. Det finns ingenting som säger att du MÅSTE använda SATS 2 i en viss uppgift. I den här uppgiften, till exempel, behövs den inte. Eftersom (1,2) är en inre punkt behäver du inte bry dig om randpunkter heller.

Om det är en uppgift där det handlar om randpunkter så kan du t ex parametrisera randen och undersäka om det finns någon derivata som är 0, och om själva randen har någon ändpunkt så behöver du undersöka denna separat.

Jahaaa. Alltså för att använda hesse matris satsen?

Om det är den man skriver om i SATS 2, ja.