Lokalt max/min ??? Hur?

Ett lokalt (kan även vara globalt) extremvärde fås då:

$f'(x)=0$

Även här har du nytta av att skissa grafen grovt.

Vet du vad skillnaden är mellan ett lokalt och ett globalt maxvärde (minvärde)?

Helt enkelt kan man säga att en lokalt maximun eller minimum  är den största eller minsta värde på ett visst intervall. Och den globalt maxi/min är dem största/min värdena genom (througout) hela grafen. 

Nej, det är inte helt rätt.

Ett lokalt minvärde är ett värde som är det minsta i sin närmaste omgivning, dvs att det inte finns något annat värde inom ett litet område runt detta värde som är mindre än det. Exempel: Funktionen $f(x)=x^2$ har ett lokalt minvärde 0 i origo eftersom alla andra värden i ett litet område runt origo är större än 0.

Ett lokalt maxvärde är ett värde som är det största i sin närmaste omgivning, dvs att det inte finns något annat värde inom ett litet område runt detta värde som är större än det. Exempel: Funktionen $f(x)=2-x^2$ har ett lokalt maxvärde 2 i punkten (0, 2) eftersom alla andra värden i ett litet område runt denna punkt är mindre än 2.

=================

Ett globalt minvärde i ett intervall är ett värde som är det minsta av alla värden i detta intervall, oavsett hur stor omgivning vi undersöker, dvs att det inte finns något annat värde i intervallet som är mindre än det, oavsett var vi söker. Exempel: Funktionen $f(x)=x^2$ har i intervallet $-1\leq x\leq1$ ett globalt minvärde 0 i origo eftersom det inte finns något annat värde som är mindre än 0, oavsett var i intervallet vi söker.

Ett globalt maxvärde i ett intervall är ett värde som är det största av alla värden i detta intervall, oavsett hur stor omgivning vi undersöker, dvs att det inte finns något annat värde i intervallet som är större än det, oavsett var vi söker. Exempel: Funktionen $f(x)=2-x^2$ har i intervallet $-1\leq x\leq1$ ett globalt maxvärde 2 i punkten (0,2) eftersom det inte finns något annat värde som är större än 2, oavsett var i i ntervallet vi söker.

===============

Det vi ser är alltså att

• alla globala maxvärden även är lokala maxvärden, men att det omvända inte nödvändigtvis gäller.
• alla globala minvärden även är lokala minvärden, men att det omvända inte nödvändigtvis gäller.

Om vi ta uppgiftens graf som exempel. f(x) = -x^3 +27x +1  lokalt maxivärde till den är (3, 55) och lokalt minvärde är (-3, -53). 

Så när ja testat med andra derivatan. Så fick ja max värde och min värde blir samma, så kanske även globalt max och min värde är samma som lokalt max och min värde för den här uppgiften? Eller ? 

Globala extrempunkter är även lokala extrempunkter, men inte nödvändigtvis tvärtom. Precis som Yngve säger.

Du har fått rätt punkter.

Marcus N skrev:

Om vi ta uppgiftens graf som exempel. f(x) = -x^3 +27x +1  lokalt maxivärde till den är (3, 55) och lokalt minvärde är (-3, -53). 

EDIT - korrigerat felskrivning.

Du har räknar rätt, men jag fortsätter att vara petig och säger att grafen har en lokal maxpunkt vid (3, 55)  (3, 56) och en lokal minpunkt vid (-3, -53).

Motsvarande lokala maxvärde är 55 och det lokala minvärdet är -53.

Det är alltså skillnad på punkt och värde.

En punkt anges med både x- och y-koordinat men ett uttrycks värde anges med endast ett tal, i det här fallet endast y-värdet.

Menar du "grafen har en lokal maxpunkt vid (3, 55), annars vet ja ej hur du räknat fram till 56. 

Men senare säger motsvarande lokala maxvärde är 55. 

Men finns det " Största värde eller minsta värde" ?? Eller ska ja skriva att dem saknas?  

Marcus N skrev:

Så när ja testat med andra derivatan. Så fick ja max värde och min värde blir samma, så kanske även globalt max och min värde är samma som lokalt max och min värde för den här uppgiften? Eller ? 

Nej, det lokala maxvärdet 55 kan inte vara ett globalt maxvärde eftersom det finns andra värden i intervallet som är större. Till exempel då x = -7 så är uttryckets värde lika med 155, vilket ju är större än 55.

På samma sätt kan inte det linala minvärdet -53 vara ett globalt minvärde eftersom det finms andra värden i intervallet som är mindre. Till exempel då x = 7 så är uttryckets värde lika med -153, vilket ju är mindre än -53.

Läs min tidigare beskrivning av lokalt och globalt min/maxvärde. Är det något i den beskrivningen du undrar över?

Marcus N skrev:

Menar du "grafen har en lokal maxpunkt vid (3, 55), annars vet ja ej hur du räknat fram till 56. 

Ja, jag skrev fel. Har rättat nu. 

Men finns det " Största värde eller minsta värde" ?? Eller ska ja skriva att dem saknas?  

Se mina andra kommentarer.

• Finns det något största värde, dvs ett värde sådant att inga andra är större?
• Finns det något minsta värde, dvs ett värde sådant att inga andra är mindre?

Titta på grafen och fundera på om intervallet (dvs definitionsmängden) är begränsat eller inte.

Nja, utan f(x) är definerat för alla x och alla y (alltså oavsett vilka tal man sätter in i f(x) så kan man alltid komma fram till en motsvarande x-värde). Alltså kanske kan man också säga att intervallet är obegränsat? (vet ej riktigt om den här uttrycket är rätt) ? 

Det är helt rätt. Intervallet är inte angivet och då får vi förutsätta att intervallet är obegränsat.

Dvs att x kan anta vilket värde som helst.

Så det finns bara lokalt max/min värde inte allmänna störst och min värde? 

Drt stämmer. Oavsett hur stort (litet) värde du hittar så kan du alltid hitta ett större (mindre).

Alltså saknas ett största (minsta) värde.

Uttrycket saknar globat max- (min-)värde.