8 svar
157 visningar
binary 206 – Fd. Medlem
Postad: 10 mar 2020 21:57 Redigerad: 10 mar 2020 22:16

Lokalt extremvärde för x=0

Hej,

fastnar på följande fråga;
"Har funktionen f(x)=xsin(2x+x2)-2x2-x3lokalt extremvärde för x=0? Ange om det eventuella extremvärdet är lokalt max eller lokalt min."

Jag är väldigt osäker på hur jag ska gå tillväga. Jag tänker mig att jag på något sätt ska använda mig av Maclaurin. 

Skaft 2373 – F.d. Moderator
Postad: 10 mar 2020 22:09

Lokala extrempunkter är matte 3 från gymnasiet. Hur mycket lutar kurvan när den går genom en extrempunkt?

binary 206 – Fd. Medlem
Postad: 10 mar 2020 22:17

I lösningsförslaget (som jag finner mycket rörigt och inte riktigt förstår) så ser det ut som dom använder formeln för Maclaurin till tredje graden samt restterm i femte grad. 

Ser nu att en del av ekvationen i mitt första inlägg hoppat bort, rättar till det så kanske det förändrar en hel del :) 

Skaft 2373 – F.d. Moderator
Postad: 10 mar 2020 22:42

Hm, jag kanske missar något, men jag hade bara kört på och deriverat! Tittar dock gärna på lösningsförslaget.

binary 206 – Fd. Medlem
Postad: 10 mar 2020 22:48

Skaft 2373 – F.d. Moderator
Postad: 10 mar 2020 23:28 Redigerad: 10 mar 2020 23:29

Aha, tjusigt! Så idén är att approximera funktionen med ett polynom (som du hintade om). Då är det alltså sinusfaktorn som byts ut via Maclaurin. När (2x+x2)3(2x+x^2)^3 utvecklas behöver man bara hålla reda på lägstagradstermen, (2x)3=8x3(2x)^3 = 8x^3, för de andra kommer bli av minst grad 5 när x:et utanför den stora parentesen multipliceras in. Och grad 5 och uppåt bakas in i resttermen.

Resultatet blir att funktionen beter sig som en negativ fjärdegradskurva kring origo (notera att om x är nära noll så blir x5x^5 betydligt mindre än x4x^4, därför är det x4x^4 som dominerar över resttermen). Och den fjärdegradskurvan har alltså ett max i origo, som ritat.

binary 206 – Fd. Medlem
Postad: 11 mar 2020 16:45

Hm...jag både förstår och förstår inte.
Jag förstår inte exempelvis 2x+x2-2x+x23!, hur kommer hela 2x+x^2  in där? Hur kan 2x+x^2 stå där även helt oderiverad? 

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 11 mar 2020 21:17

Hur ser MacLaurinpolynomet för sin(x) ut?

Skaft 2373 – F.d. Moderator
Postad: 11 mar 2020 21:28 Redigerad: 11 mar 2020 21:29

Jag förstår vad du menar, men det är inte så mystiskt egentligen. Maclaurinutvecklingen visar att funktionen sin(x) kan skrivas så här:

sin(x)=x-x33!+x55!-\sin(x) = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \ldots

Om det där är sin(x), vad är då sin(2x+x2)\sin(2x + x^2)? Vi har alltså redan ett polynom som beräknar "sinus av" något tal. Talet vi vill beräkna sinus av är 2x+x22x + x^2, så då sätter vi in det i polynomet:

sin(2x+x2)=(2x+x2)-(2x+x2)33!+(2x+x2)55!-\sin(2x + x^2) = (2x + x^2) - \dfrac{(2x + x^2)^3}{3!} + \dfrac{(2x + x^2)^5}{5!} - \ldots

Svara
Close