Lokala undersökningar med hjälp av kvadratisk form Q(h,k,l) (Flervariabelanalys)

Ange lokala max,min och sadelpunkter till $f (x, y, z) = x^{4} + y^{4} + z^{4} - 4 x y z$

För att bestämma $Q (h, k, l)$ måste jag först bestämma för vilka $(x, y, z)$ som uppfyller $\nabla f = \bar{O}$ . Jag deriverar min funktion med avseende på vardera variabel och får ekvationssystemet (notera att jag delar bort 4an i ekvationerna):

$\begin{matrix} x^{3} - y z = 0 \\ y^{3} - x z = 0 \\ z^{3} - x y = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \begin{matrix} x^{3} = y z \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = \frac{x^{3}}{z} \\ z = \frac{x^{3}}{y} \end{cases} \\ y^{3} = x z \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{y^{3}}{z} \\ z = \frac{y^{3}}{x} \end{cases} \\ z^{3} = x y \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{z^{3}}{y} \\ y = \frac{z^{3}}{x} \end{cases} \end{matrix}$

Sen här har jag fastnat lite. Att (0,0,0) är en lösning ser jag enkelt, men hur avgör jag, på ett smidigt sätt, vilka de resterande lösningarna är?

Multiplicera första ekvationen med x och andra med y.

Du får då x^4-xyz=0 och

y^4-xyz=0

subtrahera så har du x^4-y^4=0

använd samma sak för z, sen tar du reda på punkterna.

Eller multiplicera ekvationerna $x^3y^3z^3=x^2y^2z^2 \Rightarrow xyz=1$

Svara