Lokala extrempunkter

Funktionen $z = z (x, y)$ har kontinuerliga partiella derivator av varje ordning och uppfyller ekvationen

$z^{3} + z (y^{2} + 1) + x^{3} - 3 x + y^{2} - 8 = 0$ .

Bestäm alla lokala extrempunkter för z.

Lösning:

Jag misstänker att en lösning kan hittas med hjälp av implicita funktionssatsen och genom Taylor-utveckling. När jag väl har en Taylorutveckling så bör jag kunna lösa uppgiften, men jag vet inte hur jag får fram en sådan. I vissa uppgifter ges lite mer information, som t.ex. att $z (0, 0) = 0$ . Därifrån kan jag gå vidare, men i detta fallet så är jag ganska tom på idéer. Någon som kan ge mig en hint?

Derivera m.a.p x för att lösa ut dz/dx som funktion av x, y och z.

Derivera m.a.p y för att lösa ut dz/dy som funktion av x, y och z.

Vad krävs för lokal extrempunkt?

Svara