Lokala extrempunkter
En tillverkare av avancerade robotleksaker uppskattar att hans dagliga kostnad i tusental kr kan beskrivas med funktionen K(x) = x^3 - 6x^2 + 13x + 15 och den dagliga intäkten i tusental kr av funktionen I(x)= 28x där x är antalet leksaker
a) Vilket antal robotleksaker bör han tillverka och sälja per dag för att hans vinst ska bli maximal?
b) Hur stor är den maximala vinsten?
c) Hur många leksaker måste han tillverka och sälja per dag för att gå med vinst?
Om jag börjar med a) så tänkte jag att vinsten, v(x)=28x-(x^3 - 6x^2 + 13x + 15)=-x^3 + 6x^2 + 15x -15
Sedan deriverar jag vinsten, och får v'(x)=-3x^2 + 12x + 15
Sen löser jag ekvationen v'(x)=0, för att hitta derivatans nollställen.
Får x1=-1 och x2=5, sen tänkte jag att antalet leksaker som ska tillverkas är det x-värde som funktionen har i maximipunkten. Alltså (-1+5)/2= 2. Men det är fel svar, svaret ska bli 5.
Du verkar vilja hitta extrempunkten genom att ta punkten mitt emellan nollställena för en andragradsfunktion. Det är något helt annat.
Laguna skrev:Du verkar vilja hitta extrempunkten genom att ta punkten mitt emellan nollställena för en andragradsfunktion. Det är något helt annat.
Jag förstår inte vad du menar Laguna, är det fel? varför? hur ska jag istället göra?
Du vill ha nollställena för derivatan. Dem har du fått. Det du räknar ut med (-1+5)/2 är var derivatan har en extrempunkt.
Laguna skrev:Du vill ha nollställena för derivatan. Dem har du fått. Det du räknar ut med (-1+5)/2 är var derivatan har en extrempunkt.
Har fått fram nollställena för derivatan, men borde inte extrempunkten (maximipunktens) x-värde ge mig det antal leksaker för att kunna få maximal vinst ??? Det är detta jag inte förstår, varför är det fel när man tänker så?
Men enligt dig, om jag förstått rätt så ger nollställena för derivatan det antal leksaker för att kunna få maximal vinst? Förstår inte riktigt....
v(x) har en extrempunkt. v'(x) har en extrempunkt. Vilken av dem vill du ha?
v'(x) är en andragradsekvation och har därför sin extrempunkt mitt emellan sina nollställen.
Men v(x) har sina extrempunkter när v'(x)=0.
jarenfoa skrev:v'(x) är en andragradsekvation och har därför sin extrempunkt mitt emellan sina nollställen.
Men v(x) har sina extrempunkter när v'(x)=0.
v(x) har sina extrempunkter när v'(x)=0, och därför så kommer v(x) extrempunkternas x-värde vara x=-1 och x=5, men om man stoppar in x=-1 i v(x) så får man -23, och stoppar man in 5 i v(x), så får man 85. Eftersom dom ville ha max antal leksaker för maximal vinst så måste svaret vara 5 leksaker, (och man kan inte ha -1 i antal leksaker). Stämmer detta?
b) då måste maximala vinsten vara 85.
c) vet inte exakt hur jag ska tänka på c) Men tänkte att man kan stoppa in x=1, x=2, x=3 ...... tills x ger att v(x) är ett positivt värde, men det jag undrar är finns det inget sätt man kan räkna ut det direkt. Istället för att testa varje x-värde?
Laguna skrev:v(x) har en extrempunkt. v'(x) har en extrempunkt. Vilken av dem vill du ha?
Tror jag löste a och b, men är fortfarande osäker på c).
Vad fick du för möjliga antal när du provade på c?
Man kan lösa tredjegradsekvationen numeriskt. Annars kan man prova, som du säger. Om man misstänker att det finns många värden så kan man börja med ett stort värde, t.ex. 100. När det visar sig ge negativ vinst, så tar man hälften, alltså 50, och så håller man på tills man har hittat nollstället.
Det hänger på att man vet att v(x) är avtagande för x >= 5.
Du har ju redan en funktion för vinsten: v(x)
c) frågar efter vilka värden på x som ger en vinst större än noll.
Laguna skrev:Vad fick du för möjliga antal när du provade på c?
Man kan lösa tredjegradsekvationen numeriskt. Annars kan man prova, som du säger. Om man misstänker att det finns många värden så kan man börja med ett stort värde, t.ex. 100. När det visar sig ge negativ vinst, så tar man hälften, alltså 50, och så håller man på tills man har hittat nollstället.
Det hänger på att man vet att v(x) är avtagande för x >= 5.
Fick att x måste vara likamed 1 eller större, eller likamed 7 eller mindre. När man testar x=8, får man ett negativt värde för v(x).
Ja tror att dom menar att man ska lösa uppgiften genom att testa olika x-värden. För dom har inte skrivit något om hur man löser en tredjegradsekvation numeriskt.
