lokal extrem

Hej

jag har en uppgift där jag har kommit en bit påväg men har fastnat.

Bestäm alla lokala extrempunkter till $f (x, y) = x^{3} y^{2} + 27 x y + 27 y$

Jag började med att derivera m.a.px och sedan m.a.p.y och fick

$\frac{d f}{d x} = 3 x^{2} y^{2} + 27 y$ och $\frac{d f}{d y} = 2 y x^{3} + 27 x + 27$

För att hitta extrempunkterna satte jag $\frac{d f}{d x} = \frac{d f}{d y} = 0$

Då får jag $x^{2} y^{2} + 9 y = 0$ och y=0 eller y= $\frac{- 9}{x^{2}}$

Sedan gjorde jag samma sak med $2 y x^{3} + 27 x + 27 = 0$ och sätter in värdet på $y = \frac{- 9}{x^{2}}$

Jag får då att x=-3 och y=0 eller y=-1

Då får vi de kritiska punkterna (-3,0) och (-3,-1)

men hur ska man ta sig vidare?

svaret ska bli ett lokalt max i (-3,-1) och stationära punkter (-1,0) och (-3,-1)

Hej B.N.

Du säger att du har fått de kritiska punkterna (-3,0) och (-3,-1), men för (-3,0) är inte $\nabla f=\mathbf{0}$ , däremot är $\nabla f|_{(-1,0)}=\mathbf{0}$

När du fått ordning på dina stationära punkter är nästa steg att bestämma vad det är för typ av punkter. Det kan du t.ex. göra genom att studera en Taylorutveckling runt punkterna. Den första ordningens termer blir naturligtvis 0 (det är ju så du hittat dem). Men med andraderivatorna kan du bilda och studera den kvadratiska formen $f^{''}_{xx}(\Delta x)^2+2f^{''}_{xy}\Delta x \Delta y+f^{''}_{yy}(\Delta y)^2$ . Den har lite olika egenskaper beroende på vad det är för typ av punkt du hittat, strängt positivt definit är lokalt min, strängt negativt definit betyder lokalt max. Indefinit betyder sadelpunkt och har du riktigt mycket otur är den semidefinit, då måste vi gräva djupare.

okej så kritiska punkterna som jag fick fram (-3,0) och (-3,-1) stämmer inte?

x=-1 och y=0 stämmer nu när jag sätter in värdena i $2 y x^{3} + 27 x + 27 = 0$ och stämmer ju även med $3 x^{2} y^{2} + 27 y = 0$

så får vi då kritiska punkterna (-3,-1) och (-1,0) ?

Svara