Logistiska tillväxtekvationen med en kopp te
För att bestämma proportionalitetskonstanten k i Newtons avsvalningslag (avsvalningenshastigheten är proportionell mot temperaturdifferensen till omgivningen), låter Pia en kopp vatten svalna av i ett rum där temperaturen är 21 grader. Från början är vattentemperaturen 95 grader. Efter 5 minuter är temperaturen 65 grader.
a)Bestäm konstanten k med tre värdesiffror
Jag har tecknat upp ekvationen:
, jag vet också att T(0)=95 OCH T(5)=65 men hur ska jag få fram k-värdet utifrån det?
Bara ett påpekande: logistiska tillväxtekvationen är en annan sak.
Behöver du lösa differentialekvationen? Man borde få använda den kända formeln för T här.
Nope logistiska ekvationen är definerad som y'=ky(M-y) men kanska att det inte räknas som det för att det saknas ett y?
Hursomhelst, vilken känd formel för T? Ska vi räkna ut formeln för T?
Min gissning är att "Newtons avsvalningslag" står någonstans i boken. Det är den ni ska använda.
Men att härleda den ur differentialekvationen är inte svårt. Var fick du differentialekvationen ifrån förresten?
Laguna skrev:Min gissning är att "Newtons avsvalningslag" står någonstans i boken. Det är den ni ska använda.
Men att härleda den ur differentialekvationen är inte svårt. Var fick du differentialekvationen ifrån förresten?
"Newtons avsvalningslag" finns inte i boken. Diff.ekv. tecknade jag själv upp enligt vad texten sa. Men hur ska man lösa den?
Allmän lösning:
y'-kT=-21k
Ce^(kt), är det rätt?
OK, det är differentialekvationen som uttrycker avsvalningslagen. Jag tänkte att det kanske var den explicita formeln för T.
Då får vi lösa den.
Om man separerar t och T får man
dT/(T-21) = k dt
Integrera.
(Var kom y ifrån?)
Laguna skrev:OK, det är differentialekvationen som uttrycker avsvalningslagen. Jag tänkte att det kanske var den explicita formeln för T.
Då får vi lösa den.
Om man separerar t och T får man
dT/(T-21) = k dt
Integrera.
(Var kom y ifrån?)
Oj det här verkar som något vi inte har gjort alls. (y är egentligen samma sak som T i det här fallet, jag
är bara ovan vid annat namn på variabeln.)
Jag tänkte att man kanske kunde göra T=Th+Tp, men jag har svårt för att lösa partikulär-lösningen
Ja, ekvationen går förstås att skriva så här också
T' - kT = -21k
precis som du gjorde, och det är en ekvation som ni nog har lärt er lösa, och allmänna lösningen är som du skriver Cekt.
Prova enklast möjliga partikulärlösning.
På fem minuter är förändringsfaktorn alltid samma (65–21)/(95–21), här behövs väl ingen diffekv.?
Låt Z vara antal femminutersintervall. T är temp som överstiger 21°
T = 74 * (44/74)^Z
Behöver du inte ha löst differentialekvationen för att kunna uttala dig så?
Laguna, jag tänker att det Är vad Newton sade. Sätt omgivningens temperatur till noll, då är halveringstiden konstant (eller tiden för temp att minska till en tiondel, whatever).
Sedan kan man såklart skriva en diffekvation, men jag misstänker att N:s ursprungliga idé var något i stil med ovanstående.
Mogens skrev:På fem minuter är förändringsfaktorn alltid samma (65–21)/(95–21), här behövs väl ingen diffekv.?
Förstår inte riktigt och jag får inte heller rätt svar när jag testar :(
Axiom, mitt uttryck har en tidsenhet som är 5 minuter, det kan röra till det.
Men uppgiften är ju att bestämma k i N:s avsvalningslag, då måste väl lagen finnas någonstans?
En helt annan sak är att jag tror detta försök kommer att misslyckas. Jag testade en gång och mätte temperaturen i ett vattenglas som jag fyllt på med kokande vatten. Min uppgift var att på tre mätningar bestämma rumstemperaturen.
Jag fick att det var 55° i rummet som enligt väggtermometern var typ 20°. Min gissning är att temp avtar mycket snabbare i början än lagen säger eftersom det bildas en massa ånga då, vilket är energikrävande. Så glaset bör ha lock under försöket.
Pia kanske gör fel i någon mening, men med de givna förutsättningarna är det bara att beräkna k.
Om vi ska förkasta avsvalningsmodellen så får vi hitta på någon bättre, och den har antagligen fler parametrar, och vi har bara två mätpunkter, så vi kan inte svara på uppgiften.
Laguna skrev:Pia kanske gör fel i någon mening, men med de givna förutsättningarna är det bara att beräkna k.
Om vi ska förkasta avsvalningsmodellen så får vi hitta på någon bättre, och den har antagligen fler parametrar, och vi har bara två mätpunkter, så vi kan inte svara på uppgiften.
Jag har tittat i facit och ekvationen jag nedtecknat är korrekt så om vi utgår från den kan vi då ta reda på k?
jag tycker partikulärlösningen är svår att lösa
Nu har jag hittat Avsvalningslagen på Wiki och jag ska kollräkna om min formel är stämmer med Newtons.
Mogens skrev:Nu har jag hittat Avsvalningslagen på Wiki och jag ska kollräkna om min formel är stämmer med Newtons.
Din lösning är kreativ men det är inte den som är menad för att lösa uppgiften
Laguna skrev:
T' - kT = -21k
Tp= 0-ka=-21k?
a=21 ?
Ja tack, nu blev det rätt om man satte in värdena man fick!
Axiom skrev:Mogens skrev:Nu har jag hittat Avsvalningslagen på Wiki och jag ska kollräkna om min formel är stämmer med Newtons.
Din lösning är kreativ men det är inte den som är menad för att lösa uppgiften
Tack, frågan är om min lösning är korrekt. Det kan vara så att antingen jag eller Newton har fel. Place your bets.
Axiom skrev:Laguna skrev:
T' - kT = -21k
Tp= 0-ka=-21k?
a=21 ?
Ja tack, nu blev det rätt om man satte in värdena man fick!
Intuitivt är det rimligt att temperaturen i limes är lika med omgivningstemperaturen.
Den där omskrivningen av differentialekvationen som jag kom med först är inte svår: en primitiv funktion av 1/(T-21) är ln(T-21).
Laguna skrev:Axiom skrev:Laguna skrev:
T' - kT = -21k
Tp= 0-ka=-21k?
a=21 ?
Ja tack, nu blev det rätt om man satte in värdena man fick!
Intuitivt är det rimligt att temperaturen i limes är lika med omgivningstemperaturen.
Den där omskrivningen av differentialekvationen som jag kom med först är inte svår: en primitiv funktion av 1/(T-21) är ln(T-21).
Förstod bara inte varför man ska integrera på det sättet
Utifrån min modell får jag att temperaturen t minuter efter start är
21 + 74 * e^(ct)
där c = ln[(44/74)^0,2] ≈ –0,103975.
Är det kompatibelt med era resultat?
Mogens skrev:Utifrån min modell får jag att temperaturen t minuter efter start är
21 + 74 * e^(ct)
där c = ln[(44/74)^0,2] ≈ –0,103975.
Är det kompatibelt med era resultat?
Det är rätt! :)
Tack Axiom!
