Logistiska tillväxtekvationen
Hej!
Skulle behöva hjälp med följande uppgift:
"På en isolerad ö räknades vid ett tillfälle antalet rävar. Antalet var då 65 stycken. Efter ett år räknades rävarna på nytt. De var då 98. Vid den tredje räkningen efter ytterligare ett år fanns det 142 rävar. För att göra en uppskattning av det maximala antalet rävar som kommer att finnas på ön antar man att tillväxten följer den logistiska tillväxtekvationen. Om y är antalet rävar är y' = k ·y · (M - y).
a) Bestäm konstanterna k och M. Ange även deras enheter."
Jag har försökt ställa upp ett ekvationssystem, där jag antar att y' (tillväxthastigheten) är lika för samtliga tre funktioner, för att ta reda på värdena av k och M.
(1) y'= k · 65 · (M - 65).
(2) y' = k ·98 · (M - 98).
(3) y' = k ·142 · (M - 142).
Detta ekvationssystem ger olika svar beroende på vilka två ekvationer jag likställer med varandra, vilket är en följd av att det endast finns två obekanta variabler men tre olika ekvationer. Jag undrar då om jag är på rätt spår med att försöka teckna ett ekvationssystem eller om man möjligtvis ska lösa denna genom digitala verktyg. En knuff i rätt riktning vore mycket uppskattat.
Det är en bra idé att ställa upp ett ekvationssystem, men du har gjort ett felaktigt antagande, nämligen att y' är konstant - det står ju i uppgiften att y' = k ·y · (M - y).
Vet du hr lösningen till den logistiska ekvationen ser ut?
Den logistika diffekvationen
y' = k*y*(M - y)
är separabel och lösbar. Se om du kan separera och integrera! (annars står nog lösningen i din formelsamling, men det är ju alltid bra att lösa den själv.)
Sedan vet du y(0), y(1) och y(2), vilket gör att du kan uppskatta k och M.
EDIT: du kan inte inte bara uppskatta k och M, utan du kan t.o.m räkna ut dem enligt modellen.
Tack så mycket för era snabba svar!
Ja, då förstår jag att y' inte är konstant som jag tidigare har antagit. Jag tror haken ligger i att jag inte riktigt förstår hur jag ska gå till väga för att få fram lösningen till den logistiska ekvationen. Jag har i tidigare uppgifter tagit fram lösningen av denna typ av ekvationer via wolframalpha, men har då haft värden på konstanterna k och M. Boken har inte redovisat hur man gör för att teckna lösningen, och jag är förmodligen trött nu, men jag finner inte någon formel för lösningen i formelsamlingen heller. Tittade på länken som Smaragdalena länkade och undrar om det är denna formel som eventuellt skulle kunna vara en lösning av logistiska ekvationen y' = k ·y · (M - y):
Är det denna formel ni menar? Här antar jag att L är motsvarigheten till M (maximal storlek av population), samt att x0=0 i detta fall. Dock när man sätter in exempelvis f(0)=65 där x=0, i formeln så får jag att M=130 och det är uppenbart fel.
Jag vet inte heller om det är meningen att man ska kunna lösa en ekvation av denna typ förhand. Jag brukar föredra att kunna lösa själv, då jag gärna undviker att försöka hitta rätt formel i formelsamlingen utan förståelse. Men att lösa denna typ av ekvation känns obekant för mig. Är det någon som har något ytterligare att tillägga om hur man löser denna typ av uppgift så uppskattar jag det mycket.
Du har 3 okända: k, x0 och M
Du har 3 kända y-värden vid olika tidpunkter. Hur blir ekvationssystemet?
