Logiskt ekvivalenta påståenden? Linjär algebra

Hej!

En sats säger att:

Om A är en $m \times n$ -matris så är följande påståenden logiskt ekvivalenta:

a. Ekvationen Ax = b har en lösning för alla b i $ℝ^{m}$ .

b. Alla b i $ℝ^{m}$ är en linjärkombination av kolonnerna i A.

Jag har bara lite svårt för att greppa det hela och se det som uppenbart. Någon som skulle kunna hjälpa mig på traven?

Hej Stoffer!

Om vektorn $x = (x_1,\ldots,x_n)^T$ (där $T$ betecknar transponat) så är vektorn $Ax$ en linjärkombination

$Ax= x_1a_1+\cdots + x_na_n$

av kolonnvektorerna $a_k.$

Ekvationen

$b = Ax$

betyder att vektorn $b$ kan skrivas som en linjärkombination av kolonnvektorerna $a_k$ ; komponenterna hos vektorn $x$ talar om hur stort bidrag varje A-kolonnvektor lämnar till $b.$

Albiki

Svara