"Logiktecken" mellan logaritm- och exponetialekvationer

Hej!

Rent matematiskt, om jag har en ekvation och jag exponentierar eller logaritmerar båda leden, vilket håll ska tecknet mellan ekvationerna vara riktat? Och kan falska lösningar uppkomma både då man exponentierar eller logaritmerar ekvationer eller är det bara när man exponentierar som falska lösningar kan uppkomma? Jag undrar också om någon utav dem kan "ta bort" lösningar så att lösningar inte finns med i den "manipulerade" ekvationen? Alltså:

om jag t.ex. har $e^{x} = 2$ $\Rightarrow / \Leftarrow / \Leftrightarrow ?$ $\ln e^{x} = \ln 2$ ,

eller om jag har $\ln x = 5 \Rightarrow / \Leftarrow / \Leftrightarrow ? e^{\ln x} = e^{5^{}}$

Vilket tecken är det korrekta?

Ibland leder det till problem därför att negativa lösningar inte fungerar för ln(x).

Ekvivalens betyder att om VL är sant är också HL sant och att om HL är sant så är VL sant.

Exempelvis, om $2x+1=0 \iff x=-1/2$ . Klarar du då av att fixa implikation/ekvivalens för dina givna ekvationer ovan?

Citerar

Vi ska använda skrivsättet $A \Rightarrow B$ och kalla en sådan utsaga för en implikation. Pilen $\Rightarrow$ kan utläsas >>medför<< eller >>implicerar<<. Några andra verbala omformuleringar av $A \Rightarrow B$ är

A är [ett] tillräckligt [villkor] för B,

B är [ett] nödvändigt [villkor] för A,

A gäller endast om B gäller

Precis som andra utsagor en implikation vara sann eller falsk, öppen eller sluten. Om A är sann, måste även B vara sann, för att utsagan $A \Rightarrow B$ ska vara sann. Om A är falsk, däremot, anser vi $A \Rightarrow B$ alltid vara sann, oavsett vad B är: en falsk utsaga implicerar vad som helst.

Dracaena skrev:
Ibland leder det till problem därför att negativa lösningar inte fungerar för ln(x).

Ekvivalens betyder att om VL är sant är också HL sant och att om HL är sant så är VL sant.

Exempelvis, om $2x+1=0 \iff x=-1/2$ . Klarar du då av att fixa implikation/ekvivalens för dina givna ekvationer ovan?

Är då $e^{x} = 2 \Leftarrow \ln e^{x} = \ln 2$ ? Och $\ln x = 5 \Rightarrow e^{\ln x} = e^{5}$ ?

Gäller det allmänt att tecknet är $\Leftarrow$ vid logaritmering och att tecknet är $\Rightarrow$ vid exponentiering?

Ekvivalens gäller i båda fallen, eftersom exponentfunktionen och logaritmfunktionen är monotona.

Man får passa sig lite t.ex. om man förenklar:

$\ln x^2$ .

Laguna skrev:
Ekvivalens gäller i båda fallen, eftersom exponentfunktionen och logaritmfunktionen är monotona.

Jag tror inte att jag förstår. I mina repetitionspapper står det ett exempel $2 \ln (x - 4) = \ln x + \ln 2$ och genom exponentiering så får man ut rötterna x=2 och x=8. Roten x=2 är en falsk rot. Så ekvivalens gäller inte allmänt.

Så det jag undrar är om det allmänt gäller att vid exponentiering är det $\Rightarrow$ och vid logaritmering gäller $\Leftarrow$ ? För vid kvadrering av ekvationer så är tecknet $\Leftarrow$ eftersom falska rötter kan finnas.

Hm, problemet är att e^2lnx och x² inte är samma sak. Det är där falska rötter introduceras, inte genom själva exponentieringen. Men det är ju den omskrivningen som är intressant, så det jag sa om ekvivalens var väl inte så användbart.

Svara

Visa senaste svar