Logik Predikatlogik: formalisering

Flyttade tråden från Teknik och Bygg /Universitet till Matematik/Universitet, där den passar bättre. /moderator

Nu var det länge sedan jag sysslade med detta, men det ser lite omständigt ut. Jag tänker att ett lättare sätt är att skriva $\exists x,y(x=y\to P(x,y\left)\right)$, dvs. "det finns x och y sådana att om x = y, är lampan på position (x,y) tänd". Vad säger facit?

EDIT: Se gärna Russells inlägg längre ned i denna tråd, det är en utmärkt förklaring av varför uttrycket bör vara $\exists x,y(x=y\wedge P(x,y\left)\right)$ istället.

Smutstvätt skrev:

Nu var det länge sedan jag sysslade med detta, men det ser lite omständigt ut. Jag tänker att ett lättare sätt är att skriva $\exists x,y(x=y\to P(x,y\left)\right)$, dvs. "det finns x och y sådana att om x = y, är lampan på position (x,y) tänd". Vad säger facit?

aa okej jag ser skillnaden och ser bättre ut. men undrar om $\exists x,y$ innebär att det existerar ett (1) sådant fall eller om det betyder att det är "några stycken x och y"?

eller vad skulle det vara för skillnad å skriva som du fast $\neg \forall x,y (x = y \to P(x,y\left)\right)$istället? 

"för inte alla x och y sådana att x = y, är lampan på position (x,y) tänd" ?

finns dessvärre inget facit därav min fundering till svar

E betyder att det finns minst 1. Inte A betyder att det finns minst 1 där det inte stämmer, men det behöver inte stämma för något.

Så av n möjliga kan man säga att E täcker fallen 1-n, och inte A täcker 0-(n-1).

Micimacko skrev:

E betyder att det finns minst 1. Inte A betyder att det finns minst 1 där det inte stämmer, men det behöver inte stämma för något.

Så av n möjliga kan man säga att E täcker fallen 1-n, och inte A täcker 0-(n-1).

okej men förstår inte riktigt sista meningen du skrev

om E täcker fallen 1-n hur mycket av fallen täcker inte A ? vad är 0-(n-1) ?

E: Av n st lampor totalt är det möjligt att mellan 1 st och n st lyser.

Inte A: Mellan 0 st och (n-1) st lyser.

Micimacko skrev:

E: Av n st lampor totalt är det möjligt att mellan 1 st och n st lyser.

Inte A: Mellan 0 st och (n-1) st lyser.

okej så det är lika många antal men täcker olika områden? dvs att E måste finnas minst 1 medan inte A kan ha noll?

Japp. Jämför med hur man pratar i vanliga fall. Om inte alla lyser, hur tolkar du det? Jämfört med om man säger att det finns lampor som lyser.

Smutstvätt skrev:

Nu var det länge sedan jag sysslade med detta, men det ser lite omständigt ut. Jag tänker att ett lättare sätt är att skriva $\exists x,y(x=y\to P(x,y\left)\right)$, dvs. "det finns x och y sådana att om x = y, är lampan på position (x,y) tänd". Vad säger facit?

Jag tror att det borde vara en konjunktion istället för implikation. Negationen av ditt förslag skulle bli $\forall x,y(x=y\wedge \neg P(x,y\left)\right)$, vilket verkar säga något i stil med att det bara finns en punkt och att pixeln där inte är tänd.

Negationen av att vissa pixlar på huvuddiagonalen är tända blir att inga pixlar på huvuddiagonalen är tända, vilket lite omständligare kan formuleras som "för alla punkter (x,y) gäller att om (x,y) ligger på huvuddiagonalen så är pixeln i (x,y) inte tänd". Det skulle vi kunna formalisera som $\forall x,y(x=y\to \neg P(x,y\left)\right)$. Negationen av det, vilket alltså är vad vi försöker uttrycka, är precis det du (Smutstvätt) skrev fast med en konjunktion istället för implikation, dvs $\exists x,y(x=y\wedge P(x,y\left)\right)$.

Den formeln kan utläsas "det finns åtminstone någon punkt (x,y) sådan att den ligger på huvuddiagonalen och pixeln i (x,y) är tänd", vilket verkar vara vad vi vill säga.

Russell skrev:

Smutstvätt skrev:

Nu var det länge sedan jag sysslade med detta, men det ser lite omständigt ut. Jag tänker att ett lättare sätt är att skriva $\exists x,y(x=y\to P(x,y\left)\right)$, dvs. "det finns x och y sådana att om x = y, är lampan på position (x,y) tänd". Vad säger facit?

Jag tror att det borde vara en konjunktion istället för implikation. Negationen av ditt förslag skulle bli $\forall x,y(x=y\wedge \neg P(x,y\left)\right)$, vilket verkar säga något i stil med att det bara finns en punkt och att pixeln där inte är tänd.

Negationen av att vissa pixlar på huvuddiagonalen är tända blir att inga pixlar på huvuddiagonalen är tända, vilket lite omständligare kan formuleras som "för alla punkter (x,y) gäller att om (x,y) ligger på huvuddiagonalen så är pixeln i (x,y) inte tänd". Det skulle vi kunna formalisera som $\forall x,y(x=y\to \neg P(x,y\left)\right)$. Negationen av det, vilket alltså är vad vi försöker uttrycka, är precis det du (Smutstvätt) skrev fast med en konjunktion istället för implikation, dvs $\exists x,y(x=y\wedge P(x,y\left)\right)$.

Den formeln kan utläsas "det finns åtminstone någon punkt (x,y) sådan att den ligger på huvuddiagonalen och pixeln i (x,y) är tänd", vilket verkar vara vad vi vill säga.

vad är det för skillnad i att skriva med implikation, borde det inte var då att "det existerar en punkt (x,y) så att om den ligger på diagonalen så är den tänd"? 

$\exists x\left(P\right(x,x\left)\right)$

?

Maremare skrev:

Russell skrev:

Jag tror att det borde vara en konjunktion istället för implikation. Negationen av ditt förslag skulle bli $\forall x,y(x=y\wedge \neg P(x,y\left)\right)$, vilket verkar säga något i stil med att det bara finns en punkt och att pixeln där inte är tänd.

Negationen av att vissa pixlar på huvuddiagonalen är tända blir att inga pixlar på huvuddiagonalen är tända, vilket lite omständligare kan formuleras som "för alla punkter (x,y) gäller att om (x,y) ligger på huvuddiagonalen så är pixeln i (x,y) inte tänd". Det skulle vi kunna formalisera som $\forall x,y(x=y\to \neg P(x,y\left)\right)$. Negationen av det, vilket alltså är vad vi försöker uttrycka, är precis det du (Smutstvätt) skrev fast med en konjunktion istället för implikation, dvs $\exists x,y(x=y\wedge P(x,y\left)\right)$.

Den formeln kan utläsas "det finns åtminstone någon punkt (x,y) sådan att den ligger på huvuddiagonalen och pixeln i (x,y) är tänd", vilket verkar vara vad vi vill säga.

vad är det för skillnad i att skriva med implikation, borde det inte var då att "det existerar en punkt (x,y) så att om den ligger på diagonalen så är den tänd"? 

Implikationen A --> B säger samma sak som (-A v B) och samma sak som -(A ^ -B).

$\exists x,y(x=y\to P(x,y\left)\right)$ är alltså ekvivalent dels med (1) $\exists x,y(x\ne y\vee P(x,y\left)\right)$ och dels med (2) $\exists x,y\neg (x=y\wedge \neg P(x,y\left)\right)$.

Där blir det tydligare att formlerna inte uttrycker det vi vill. (1) utläses naturligast typ "det finns någon punkt som antingen inte ligger på diagonalen eller vars pixel är tänd" och (2) utläses typ "det finns någon punkt sådan att den inte både ligger på diagonalen och har en släkt pixel". För att dessa ska vara sanna så räcker det att det finns någon pixel ö.h.t. som inte ligger på diagonalen.

En tumregel som man kanske inte ska fästa för stor vikt vid men som ibland nämns i logikböcker är att $\exists$ ofta hänger ihop med ^ och att $\forall$ofta hänger ihop med -->. Det är förstås ingen undantagslös regel, men man säger ganska ofta antingen att det finns något som har vissa egenskaper (existenskvantifikator + konjunktion) eller att allt som har någon viss egenskap även har en annan egenskap (allkvantifikator + implikation).
Här vill vi säga att det finns någon punkt som både ligger på diagonalen och har en tänd pixel. Därför kan det vara en första gissning att det är existenskvantifikator och konjunktion som är aktuellt. Hade vi istället velat säga att alla punkter som ligger på diagonalen har lysande pixlar så hade vi använt allkvantifikator och implikation istället.

Smutsmunnen skrev:

$\exists x\left(P\right(x,x\left)\right)$

?

I like love it!

Russell skrev:

Maremare skrev:

Visa föregående citat

Russell skrev:

Jag tror att det borde vara en konjunktion istället för implikation. Negationen av ditt förslag skulle bli $\forall x,y(x=y\wedge \neg P(x,y\left)\right)$, vilket verkar säga något i stil med att det bara finns en punkt och att pixeln där inte är tänd.

Negationen av att vissa pixlar på huvuddiagonalen är tända blir att inga pixlar på huvuddiagonalen är tända, vilket lite omständligare kan formuleras som "för alla punkter (x,y) gäller att om (x,y) ligger på huvuddiagonalen så är pixeln i (x,y) inte tänd". Det skulle vi kunna formalisera som $\forall x,y(x=y\to \neg P(x,y\left)\right)$. Negationen av det, vilket alltså är vad vi försöker uttrycka, är precis det du (Smutstvätt) skrev fast med en konjunktion istället för implikation, dvs $\exists x,y(x=y\wedge P(x,y\left)\right)$.

Den formeln kan utläsas "det finns åtminstone någon punkt (x,y) sådan att den ligger på huvuddiagonalen och pixeln i (x,y) är tänd", vilket verkar vara vad vi vill säga.

vad är det för skillnad i att skriva med implikation, borde det inte var då att "det existerar en punkt (x,y) så att om den ligger på diagonalen så är den tänd"? 

Implikationen A --> B säger samma sak som (-A v B) och samma sak som -(A ^ -B).

$\exists x,y(x=y\to P(x,y\left)\right)$ är alltså ekvivalent dels med (1) $\exists x,y(x\ne y\vee P(x,y\left)\right)$ och dels med (2) $\exists x,y\neg (x=y\wedge \neg P(x,y\left)\right)$.

Där blir det tydligare att formlerna inte uttrycker det vi vill. (1) utläses naturligast typ "det finns någon punkt som antingen inte ligger på diagonalen eller vars pixel är tänd" och (2) utläses typ "det finns någon punkt sådan att den inte både ligger på diagonalen och har en släkt pixel". För att dessa ska vara sanna så räcker det att det finns någon pixel ö.h.t. som inte ligger på diagonalen.

---

En tumregel som man kanske inte ska fästa för stor vikt vid men som ibland nämns i logikböcker är att $\exists$ ofta hänger ihop med ^ och att $\forall$ofta hänger ihop med -->. Det är förstås ingen undantagslös regel, men man säger ganska ofta antingen att det finns något som har vissa egenskaper (existenskvantifikator + konjunktion) eller att allt som har någon viss egenskap även har en annan egenskap (allkvantifikator + implikation).
Här vill vi säga att det finns någon punkt som både ligger på diagonalen och har en tänd pixel. Därför kan det vara en första gissning att det är existenskvantifikator och konjunktion som är aktuellt. Hade vi istället velat säga att alla punkter som ligger på diagonalen har lysande pixlar så hade vi använt allkvantifikator och implikation istället.

Okej, jag tror jag hängde med och är mer införstådd i tumregeln.

det sista jag undrar utifrån ovan är hur skulle i så fall E x,y (x = y --> P(x,y) ) utläsas om det mer korrekta sättet att skriva skulle vara E x,y ( x = y ^ P(x,y)) ?

Maremare skrev:

Okej, jag tror jag hängde med och är mer införstådd i tumregeln.

det sista jag undrar utifrån ovan är hur skulle i så fall E x,y (x = y --> P(x,y) ) utläsas om det mer korrekta sättet att skriva skulle vara E x,y ( x = y ^ P(x,y)) ?

Det skulle utläsas precis så som du skrev: "det existerar en punkt (x,y) sådan att om den ligger på diagonalen så är den tänd". Men även om den meningen låter ganska enkel och begriplig så gör implikationen att den har lite bedrägliga/kluriga sanningsvillkor som vid närmare undersökning visar sig inte riktigt stämma överens med vad vi ville.

Russell skrev:

Maremare skrev:

Okej, jag tror jag hängde med och är mer införstådd i tumregeln.

det sista jag undrar utifrån ovan är hur skulle i så fall E x,y (x = y --> P(x,y) ) utläsas om det mer korrekta sättet att skriva skulle vara E x,y ( x = y ^ P(x,y)) ?

Det skulle utläsas precis så som du skrev: "det existerar en punkt (x,y) sådan att om den ligger på diagonalen så är den tänd". Men även om den meningen låter ganska enkel och begriplig så gör implikationen att den har lite bedrägliga/kluriga sanningsvillkor som vid närmare undersökning visar sig inte riktigt stämma överens med vad vi ville.

jaha okej då är jag med, så man behöver gräva lite djupare och inte stirra sig blint på själva texten i frågan. men tack för tumreglerna jag ska tänka på det i vidare uppgifter

Maremare skrev:

jaha okej då är jag med, så man behöver gräva lite djupare och inte stirra sig blint på själva texten i frågan. men tack för tumreglerna jag ska tänka på det i vidare uppgifter

Yes. Speciellt så behöver man ha i åtanke att den materiella implikationen i logiken inte alltid motsvarar "om... så..."-satser i det naturliga språket. T.ex. så skulle nog alla säga att det här är falskt: Om jag har en miljon kronor så är jag pank. Men "rent logiskt" så är det trivialt sant eftersom jag inte har en miljon.

Russell skrev:

Maremare skrev:

jaha okej då är jag med, så man behöver gräva lite djupare och inte stirra sig blint på själva texten i frågan. men tack för tumreglerna jag ska tänka på det i vidare uppgifter

Yes. Speciellt så behöver man ha i åtanke att den materiella implikationen i logiken inte alltid motsvarar "om... så..."-satser i det naturliga språket. T.ex. så skulle nog alla säga att det här är falskt: Om jag har en miljon kronor så är jag pank. Men "rent logiskt" så är det trivialt sant eftersom jag inte har en miljon.

okej! Är inte hundra % med på det är med implikationer vad det kan ge för andra konsekvenser vi inte vill åt tex att man kan skriva om implikationen som du skrivit i tidigare inlägg utan i mitt huvud tänker jag "om..så.." men samtidigt är jag ny i ämnet så kanske behöver studera det lite mer,