Logik och mängdläran - kvantorer och predikat

Nej, du har inte hittat ett x och ett y så att utsagan blev falsk.

a -> b är sant om a är falskt (och 2=5 är falskt).

Macilaci skrev:

Nej, du har inte hittat ett x och ett y så att utsagan blev falsk.

a -> b är sant om a är falskt (och 2=5 är falskt).

Jag förstår, alltså för att den ska vara falsk så måste jag hitta ett x och ett y sådant att a=sant och b=falsk. Alltså $a\to (\neg b)$???

Jag tolkar det som "för alla x för alla y så att x=y så gäller att x²=y²" vilket är sant för alla x och y. Du är alltså ute på ett svårt uppdrag.

Och var försiktig. Motsatsen av $a\to b$är inte $a \to \neg b$ utan $a \wedge \neg b$

D4NIEL skrev:

Jag tolkar det som "för alla x för alla y så att x=y så gäller att x²=y²" vilket är sant för alla x och y. Du är alltså ute på ett svårt uppdrag.

Kan du visa att den är sant för alla x och y? 

Macilaci skrev:

Och var försiktig. Motsatsen av $a\to b$är inte $a \to \neg b$ utan $a \wedge \neg b$

Oh, facts, my bad. Tack! Men alltså för att visa att den är falsk så måste jag hitta en x och y som satisfiera: 

a^~b 

Men jag tänker nu, det går inte att få utsagan att vara falsk i sånna fall. 

om jag tar 2=x, 2=y. 

2=2 —> 2^2=2^2 

Då blir a sant och b blir alltid sant. 

alltså vi kan dra slutsatsen att utsagan är alltid sant för alla x och y??? 

Tekniskt sett har du nu visat att det gäller för $x=2$ och $y=2$. Hur kan du vara säker på att det gäller för $x=3$?

Istället kan du ansätta $x=c$ och anta att $x=y$. Då är $y=c$ och $x^2=c^2=y^2$ alltså är $x^2=y^2$ om $x=y$

Jämför med b, här kan vi använda ett enkelt motexempel;  låt $x=3$ och $y=-3$. Uppenbarligen är $x^2=y^2$ uppfyllt, men $x\neq y$.

Jag uppfattar inte frågan som att man ska bevisa att a) är sann. Det får antas uppenbart.

Observera att i b) frågan finns följdfrågan "Hur visar man det?" men ingen sådan fråga i (a).

Uppgiften går nog snarare ut på att förstå kvantifikatorer och skillnaden mellan implikation och ekvivalens än att bevisa grundläggande egenskaper hos de reella talen.

D4NIEL skrev:

Tekniskt sett har du nu visat att det gäller för $x=2$ och $y=2$. Hur kan du vara säker på att det gäller för $x=3$?

Istället kan du ansätta $x=c$ och anta att $x=y$. Då är $y=c$ och $x^2=c^2=y^2$ alltså är $x^2=y^2$ om $x=y$

Jämför med b, här kan vi använda ett enkelt motexempel;  låt $x=3$ och $y=-3$. Uppenbarligen är $x^2=y^2$ uppfyllt, men $x\neq y$.

Men då är detta som $\neg a\to b$, vilket är enligt sanningstabellen, sant. Så det är inte en motexempel?? eller har jag missförstått?  

Smutsmunnen skrev:

Jag uppfattar inte frågan som att man ska bevisa att a) är sann. Det får antas uppenbart.

Observera att i b) frågan finns följdfrågan "Hur visar man det?" men ingen sådan fråga i (a).

Uppgiften går nog snarare ut på att förstå kvantifikatorer och skillnaden mellan implikation och ekvivalens än att bevisa grundläggande egenskaper hos de reella talen.

Jag förstår, jag är medveten om det, jag ville bara förstå varför den är sant, hade svårt att förstå varför den skulle vara sant. Tack!

Bryan skrev:

Jämför med b, här kan vi använda ett enkelt motexempel;  låt $x=3$ och $y=-3$. Uppenbarligen är $x^2=y^2$ uppfyllt, men $x\neq y$.

Men då är detta som $\neg a\to b$, vilket är enligt sanningstabellen, sant. Så det är inte en motexempel?? eller har jag missförstått? 

$a\to b$ är en implikation och betyder "Om $a$ är sann, så är $b$ sann".

På uppgift b) kan du låta $a$ motsvara $x^2=y^2$ och $b$ motsvara $x=y$

Det enda sättet $a\to b$ kan fallera är om $a$ är sann samtidigt som $b$ är falsk.

Om vi låter $x=-3$ och $y=3$ (allkvantorn säger för alla $x$ och $y$) uppstår just en sådan situation; $a$ sann samtidigt som $b$ är falsk. Motexemplet har visat att  implikationen är felaktig.