Logik: Implikationer. x ≥ 10 ⇒ x ≥ 0

När det är en enkel implikationspil åt höger betyder det att ”x större än eller lika med 10” implicerar att ”x större än eller lika med 0”.  Det implicerar däremot inte det omvända. Om det gjorde det hade man istället skrivit en dubbelriktad implikationspil. 

Exempel:

5x=10   <=>   x=2

Här råder dubbel implikation (”ekvivalens”) eftersom om 5x=10 måste det gälla att x=2 och om x=2 måste det gälla att 5x=10.

x=2   =>   x²=4

Här gäller implikation åt höger, eftersom om x=2 måste det gälla att x²=4. Däremot måste det inte gälla att x=2 om x²=4. Det hade lika gärna kunnat gälla att x=-2.

Jag ska försöka förklara bättre det som jag inte förstår. 

Om  x ≥ 10 så kan x vara 10, 11, 12, 13,...osv. Men om x ≥ 0 kan väl även x vara noll vilket bryter mot orginalpåståendet. Kanske är det mer en språkfråga/missförstående från mig kring vad ≥ betyder. Är det inkorrekt att istället skriva x ≥ 10 ⇒ x > 0? 

HjälpEfterfrågasOchErbjudes skrev:

Jag ska försöka förklara bättre det som jag inte förstår. 

Om  x ≥ 10 så kan x vara 10, 11, 12, 13,...osv. Men om x ≥ 0 kan väl även x vara noll vilket bryter mot orginalpåståendet. Kanske är det mer en språkfråga/missförstående från mig kring vad ≥ betyder. Är det inkorrekt att istället skriva x ≥ 10 ⇒ x > 0? 

Det är korrekt att skriva så, och ett korrekt påstående, och det är samma sak som $x\ge 10 \Rightarrow x \ge 1$ (om vi rör oss med heltal), så jag vet inte om du är hjälpt av det.

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Ja det är nog bara det att du inte riktigt greppat vad implikationen innebär. Den innebär inte att båda påståendena måste vara sanna samtidigt.

Vi tar ett annat exempel.

Låt implikationen vara följande:

"Jag simmar" => "Jag är blöt"

Implikationen säger att "om jag simmar så är jag blöt". Den säger inget om vad som händer om jag inte simmar. Då kan jag vara torr eller blöt (till exempel om jag duschar).

Jag kan alltså vara blöt utan att simma.

På samma sätt kan det gälla att $x\geq0$ utan att $x\geq10$.

--------

Vi kan formalisera detta lite och titta på implikationens sanningsvärde.

Säg att vi har två påståenden A och B.

Sanningsvärdet hos implikationen A => B är endast beroende på sanningsvärdena hos påståendena A och B, enligt följande (leta efter "sanningstabell" i ditt kursmaterial):

• Om A är sann och B är sann så är A => B sann
• Om A är sann och B är falsk så är A => B falsk
• Om A är falsk och B är sann så är A => B sann
• Om A är falsk och B är falsk så är A => B sann

Ditt exempel med x = 0 motsvarar alltså den tredje raden i denna lista. Implikationen är ändå giltig (sann).

Det enda sättet som implikationen kan vara ogiltig (falsk) är om det finns en möjlighet att det förhåller sig enligt rad två, dvs att $x\geq10$ santidigt som $x<0$. Men eftersom det inte finns något $x$ som uppfyller det så är implikationen alltid giltig.

Tack för jättebra svar. Sanningstabeller verkar inte vara med i kursen men de hjälpte mycket. Just att A => B inte innebär att B kan härledas ur A, utan att det handlar om sant eller falskt. Det som jag har svårt att förstå är hur 10≥0 kan vara sant. Jag har alltid tänkt att om x≥0 så betyder det att x måste ha potentialen att vara både x>0 och x=0 tills x specificeras (och därmed specificeras > eller =. Dvs om x är 0 ger det x=0 och om x är 7 ger det x>0). Istället för att så länge ett av påståendena uppfylls så kan man bortse från det andra. 

Hur tänker ni när ni ser tecknet ≥ ?

10≥0 innebär att 10 är större än eller lika med 0, vilket såklart är sant (det är större än 0).

x≥0 innebär att x är större än eller lika med 0. Det sätter en begränsning för vilka värden x kan anta. Man kan alltså inte sätta ett negativt värde på x. Om x står för en människas ålder gäller att x≥0, en människa kan ju inte ha en negativ ålder.

HjälpEfterfrågasOchErbjudes skrev:

...

Det som jag har svårt att förstå är hur 10≥0 kan vara sant. Jag har alltid tänkt att om x≥0 så betyder det att x måste ha potentialen att vara både x>0 och x=0 tills x specificeras (och därmed specificeras > eller =. Dvs om x är 0 ger det x=0 och om x är 7 ger det x>0). Istället för att så länge ett av påståendena uppfylls så kan man bortse från det andra. 

Hur tänker ni när ni ser tecknet ≥ ?

Du kan tänka en tallinje.

Markera punkterna 0 och 10 på tallinjen.

• Påståendet A: $x\geq10$ är sant för alla punkter på tallinjen som ligger på eller till höger om punkten 10.
• Påståendet B: $x\geq0$ är sant för alla punkter på tallinjen som ligger på eller till höger om punkten 0.

Beroende på vilket värde du nu väljer på $x$ så är påstående A och påstående B sanna eller falska.

Exempel:

• Om $x=-3$ så är både A och B falska eftersom $-3<10$ och $-3<0$.
• Om $x=1$ så är A falsk eftersom $1<10$ och B sann eftersom $1\geq0$.
• Om $x=12$ så är både A och B sanna eftersom $12\geq10$ och $12\geq0$.

Du ser att alla värden på $x$ som gör att A är sann även gör att B är sann.

Det kan vi uttrycka med implikationen A => B.

EDIT - Korrigerade sammanblandning av A och B.

HjälpEfterfrågasOchErbjudes skrev:

 Istället för att så länge ett av påståendena uppfylls så kan man bortse från det andra. 

Hur tänker ni när ni ser tecknet ≥ ?

Ordet eller är viktigt. $\leq$ betyder mindre än ELLER lika.

Jämför med färgen på en bil och dessa utsagor:

1. Bilen är grön eller blå - sant
2. Bilen är grön eller gul - falskt
3. Bilen är blå eller röd - sant
   

   ---

   ---

Tackar så mycket. Det verkar som att jag måste omdefiniera hur jag tänker på ≥ . 

-5 ≥ 0 Falskt

0 ≥ 0 Sant

100 ≥ 0 Sant

-1000 ≥ 5 Falskt

100 ≥ 100 Sant

Jroth skrev:

HjälpEfterfrågasOchErbjudes skrev:

 Istället för att så länge ett av påståendena uppfylls så kan man bortse från det andra. 

Hur tänker ni när ni ser tecknet ≥ ?

Ordet eller är viktigt. $\leq$ betyder mindre än ELLER lika.

Jämför med färgen på en bil och dessa utsagor:

1. Bilen är grön eller blå - sant
2. Bilen är grön eller gul - falskt
3. Bilen är blå eller röd - sant
   

   ---

   Min instinktiva reaktion går liksom så att när jag väl har sett bilen (dvs när x har specificerats) så ser jag att bilen är blå och alltså blir det mer sanna påståendet att "Bilen är blå". ≥  blir > eller =.
   

   ---

Om vi har tre personer som är x, y och z år gamla:

Andra personen är minst lika gammal som första personen: y ≥ x

Tredje personen är minst lika gammal som andra personen: z ≥ y

Detta innebär (implicerar att) tredje personen också är minst lika gammal som första personen (z ≥ x):

y ≥ x och z ≥ y   =>   z ≥ x

Notera att implikationen bara gäller åt det ena hållet här. Om vi bara visste att den tredje personen var minst lika gammal som den första personen hade vi inte kunnat säga något om den andra personens ålder.

Teraeagle skrev:

Om vi har tre personer som är x, y och z år gamla:

Andra personen är minst lika gammal som första personen: y ≥ x

Tredje personen är minst lika gammal som andra personen: z ≥ y

Detta innebär (implicerar att) tredje personen också är minst lika gammal som första personen (z ≥ x):

y ≥ x och z ≥ y   =>   z ≥ x

Notera att implikationen bara gäller åt det ena hållet här. Om vi bara visste att den tredje personen var minst lika gammal som den första personen hade vi inte kunnat säga något om den andra personens ålder.

Jag klarar av det när variabeln är helt okänd. När information tillkommer snurrar min  hjärna till det.