Logik (Matematik/Universitet)

Erika1267 skrev:
Hej jag behöver hjälp med uppgift 7. Förstår inte riktigt hur jag ska resonera. Försökte tänka något med att sant ej får medföra falskt och tänka därför att man kanske borde vända på x för att testa regeln. Men det är enbart en hypotes.
Kan någon förklara detta så logiskt det bara går?
i facit ska man vända på x och b enbart. De andra behövs ej vändas på, varför?
Med vänlig hälsning, Erika

Du kan utgå från att den första regeln gäller.

Den regel du ska kontrollera är regel 2, nämligen "Om kortet på ena sidan har ett x så måste den på andra sidan ha ett a". Regel 2 säger alltså att alla kort som har ett x på ena sidan måste ha ett a på andra sidan.

EDIT - skrev fel här.

För att du ska kunna säga att regeln stämmer så får det inte förekomma att ett kort med a på ena sidan har ett y på andra sidan.

För att du ska kunna säga att regeln stämmer så får det inte förekomma att ett kort med x på ena sidan har ett b på andra sidan.

Det är alltså detta du måste kontrollera.

Du behöver inte vända på y eftersom den inte har med regel 2 att göra, det finns ju inget x alls på det kortet enligt den första regeln.
Du måste vända på x för att kontrollera om det står ett a på andra sidan. Om det istället står ett b så gäller inte regel 2.
Du behöver inte vända på a eftersom det inte spelar någon roll om det står ett x eller ett y på andra sidan. Om det står ett x så säger det ingenting om regel 2, om det står ett y så säger det heller ingenting om regel 2.
Du måste vända på b för att se att det inte står ett x på andra sidan. I så fall gäller nämligen inte regel 2

Mycket bra förklaring av Yngve, jag fyller på en smula. Du har att:

$x \Rightarrow a$

Det gäller alltså att hitta de utsagor som falsifierar ovan implikation. Det är enbart om:

$x \Rightarrow b eller b \Rightarrow x$

Yngve skrev:
För att du ska kunna säga att regeln stämmer så får det inte förekomma att ett kort med a på ena sidan har ett y på andra sidan. Det är alltså detta du måste kontrollera.
Du behöver inte vända på a eftersom det inte spelar någon roll om det står ett x eller ett y på andra sidan. Om det står ett x så säger det ingenting om regel 2, om det står ett y så säger det heller ingenting om regel 2.

Fast vänta nu, om $a \Rightarrow x$ falsifieras väl detta om du finner att $a \Rightarrow y$ ?

Ebola skrev:
Yngve skrev:
För att du ska kunna säga att regeln stämmer så får det inte förekomma att ett kort med a på ena sidan har ett y på andra sidan. Det är alltså detta du måste kontrollera.
Du behöver inte vända på a eftersom det inte spelar någon roll om det står ett x eller ett y på andra sidan. Om det står ett x så säger det ingenting om regel 2, om det står ett y så säger det heller ingenting om regel 2.
Fast vänta nu, om $a \Rightarrow x$ falsifieras väl detta om du finner att $a \Rightarrow y$ ?

Tänkte samma sak. Undrar också varför man inte ska kolla a för att försäkra sig om att det inte är ett y på andra sidan?

Ebola skrev:
Yngve skrev:
För att du ska kunna säga att regeln stämmer så får det inte förekomma att ett kort med a på ena sidan har ett y på andra sidan. Det är alltså detta du måste kontrollera.
Du behöver inte vända på a eftersom det inte spelar någon roll om det står ett x eller ett y på andra sidan. Om det står ett x så säger det ingenting om regel 2, om det står ett y så säger det heller ingenting om regel 2.
Fast vänta nu, om $a \Rightarrow x$ falsifieras väl detta om du finner att $a \Rightarrow y$ ?

Att $a\Rightarrow x$ är inget som regeln nämner. Den säger enbart att $x\Rightarrow a$ . Det spelar alltså ingen roll ifall vi har ett kort med $a$ på ena sidan och $y$ på den andra.

AlvinB skrev:
Ebola skrev:
Yngve skrev:
För att du ska kunna säga att regeln stämmer så får det inte förekomma att ett kort med a på ena sidan har ett y på andra sidan. Det är alltså detta du måste kontrollera.
Du behöver inte vända på a eftersom det inte spelar någon roll om det står ett x eller ett y på andra sidan. Om det står ett x så säger det ingenting om regel 2, om det står ett y så säger det heller ingenting om regel 2.
Fast vänta nu, om $a \Rightarrow x$ falsifieras väl detta om du finner att $a \Rightarrow y$ ?
Att $a\Rightarrow x$ är inget som regeln nämner. Den säger enbart att $x\Rightarrow a$ . Det spelar alltså ingen roll ifall vi har ett kort med $a$ på ena sidan och $y$ på den andra.

Då förstår jag, tack för hjälpen alla :)

Ebola skrev:

Fast vänta nu, om $a \Rightarrow x$ falsifieras väl detta om du finner att $a \Rightarrow y$ ?

Jag skrev fel i mitt tidigare svar, har rättat nu.

Jag förstår inte riktigt vad dina beteckningar och vad dubbelpilen betyder.

Regel 2, dvs "Om kortet på ena sida har ett x så måste det på andra sidan ha ett a", falsifieras endast av ett kort med x på ena sidan och ett b på andra sidan.

Erika1267 skrev:

Tänkte samma sak. Undrar också varför man inte ska kolla a för att försäkra sig om att det inte är ett y på andra sidan?

Det är för att regel 2 säger att alla x-kort har en a-sida. Den säger inte att alla a-kort har en x-sida.

Det kan alltså mycket väl finnas y-kort med en a-sida utan att regeln bryts.

-------

Jämför följande regel:

"Alla kvadrater är rektanglar"

Det betyder inte att alla rektanglar är kvadrater.

Uppgift 6 (ovan för i texten) är lätt att lösa, men den är faktiskt en möjlig tolkning av situationen i uppgift 7 (erinrar jag mig...). T ex så här:

Varje kund på krogen har ett personligt kort.
På den ena sidan står det om hon har druckit alkohol eller ej (+alk, -alk)
På den andra sidan står det om hon är över eller under 18 år. (18+. 18-)

Vid inspektion lägger alla sina kort på bordet [bara en sida synlig].
Uppgifterna på korten är sanningsenliga, inget fusk.

Fyra möjligheter: 18+ 18- -alk +alk
[ y x a b ]

Vilka kort måste du kolla (vända på) för att kunna avgöra om regel 2 är uppfylld?

Yngve skrev:
Ebola skrev:
Fast vänta nu, om $a \Rightarrow x$ falsifieras väl detta om du finner att $a \Rightarrow y$ ?
Jag skrev fel i mitt tidigare svar, har rättat nu.
Jag förstår inte riktigt vad dina beteckningar och vad dubbelpilen betyder.
Regel 2, dvs "Om kortet på ena sida har ett x så måste det på andra sidan ha ett a", falsifieras endast av ett kort med x på ena sidan och ett b på andra sidan.

Ja, precis. Det var vad jag tänkte.

Dubbelpilen står för implikation, alltså en utsaga som lyder "Om x så a". Du formulerade det som att det fanns ekvivalens, alltså implikation åt båda håll :)

Ebola skrev:

...

Dubbelpilen står för implikation, alltså en utsaga som lyder "Om x så a".

...

Ja det stämmer med min bild. Det som förvirrar mig är att du skriver att vi letar efter en utsaga som falsifierar utsagan $x\Rightarrow a$ .

Ingen av utsagorna $x\Rightarrow b$ eller $b\Rightarrow x$ falsifierar nämligen $x\Rightarrow a$ .

Däremot gäller att följande utfall/sakförhållande falsifierar utsagan: $x\wedge b$ , dvs utfallet att ett kort har x på ena sidan och b på andra sidan.

Jag tycker att Arktos tolkning är helt fantastiks - det blir så lätt när man tänker så!

Arktos skrev:
Uppgift 6 (ovan för i texten) är lätt att lösa, men den är faktiskt en möjlig tolkning av situationen i uppgift 7 (erinrar jag mig...). T ex så här:
Varje kund på krogen har ett personligt kort.
På den ena sidan står det om hon har druckit alkohol eller ej (+alk, -alk)
På den andra sidan står det om hon är över eller under 18 år. (18+. 18-)
Vid inspektion lägger alla sina kort på bordet [bara en sida synlig].
Uppgifterna på korten är sanningsenliga, inget fusk.
Fyra möjligheter: 18+ 18- -alk +alk
[ y x a b ]
Vilka kort måste du kolla (vända på) för att kunna avgöra om regel 2 är uppfylld?

Yngve skrev:
Ja det stämmer med min bild. Det som förvirrar mig är att du skriver att vi letar efter en utsaga som falsifierar utsagan $x\Rightarrow a$ .
Ingen av utsagorna $x\Rightarrow b$ eller $b\Rightarrow x$ falsifierar nämligen $x\Rightarrow a$ .
Däremot gäller att följande utfall/sakförhållande falsifierar utsagan: $x\wedge b$ , dvs utfallet att ett kort har x på ena sidan och b på andra sidan.

Jag förstår inte riktigt vad jag skulle missa och har försökt läsa på om logik för att se om jag missminner mig. Om jag påstår att $x$ ger $a$ men du säger att $x$ ger $b$ falsifierar ditt påstående mitt om det är sant. Separerar du här på utsagor och utfall i termer av deras förmåga att falsifiera?

Negationen av implikationen är nämligen just att utfall x skulle implicera utfall b.

Ebola skrev:

Jag förstår inte riktigt vad jag skulle missa och har försökt läsa på om logik för att se om jag missminner mig. Om jag påstår att $x$ ger $a$ men du säger att $x$ ger $b$ falsifierar ditt påstående mitt om det är sant.
Separerar du här på utsagor och utfall i termer av deras förmåga att falsifiera?
Negationen av implikationen är nämligen just att utfall x skulle implicera utfall b.

Ja, det är skillnad på implikationer och utfall, inte bara i deras förmåga att falsifiera utan även i deras natur.

En implikation är ett påstående som kan vara sant eller falskt. Sanningshalten är helt beroende av huruvida de olika ingående delarna är sanna eller falska.

För att förtydliga detta inför jag följande beteckningar för de 4 möjliga utfallen:

XA - ett kort med x på ena sidan och a på andra sidan.
XB - ett kort med x på ena sidan och b på andra sidan.
YA- ett kort med y på ena sidan och a på andra sidan.
YB- ett kort med y på ena sidan och b på andra sidan.

Då gäller följande:

Implikationen $x\Rightarrow a$ är sann i fallen XA, YA, YB och falsk i fallet XB.
Implikationen $x\Rightarrow b$ är sann i fallen XB, YA, YB och falsk i fallet XA.
Implikationen $b\Rightarrow x$ är sann i fallen XA, XB, YA och falsk i fallet YB.

Det betyder att utfallet YA gör att alla tre implikationerna är sanna. Alltså falsifierar varken $x\Rightarrow b$ eller $b\Rightarrow x$ implikationen $x\Rightarrow a$ .

------

Och negationen till $x\Rightarrow a$ är inte $x\Rightarrow b$ , utan istället $\neg x\Rightarrow a$ , vilket har samma sanningstabell som $x\wedge\neg a$ , dvs "x och inte a".

Yngve skrev:
Ja, det är skillnad på implikationer och utfall, inte bara i deras förmåga att falsifiera utan även i deras natur.
En implikation är ett påstående som kan vara sant eller falskt. Sanningshalten är helt beroende av huruvida de olika ingående delarna är sanna eller falska.
För att förtydliga detta inför jag följande beteckningar för de 4 möjliga utfallen:
XA - ett kort med x på ena sidan och a på andra sidan.
XB - ett kort med x på ena sidan och b på andra sidan.
YA- ett kort med y på ena sidan och a på andra sidan.
YB- ett kort med y på ena sidan och b på andra sidan.
Då gäller följande:
Implikationen $x\Rightarrow a$ är sann i fallen XA, YA, YB och falsk i fallet XB.
Implikationen $x\Rightarrow b$ är sann i fallen XB, YA, YB och falsk i fallet XA.
Implikationen $b\Rightarrow x$ är sann i fallen XA, XB, YA och falsk i fallet YB.
Det betyder att utfallet YA gör att alla tre implikationerna är sanna. Alltså falsifierar varken $x\Rightarrow b$ eller $b\Rightarrow x$ implikationen $x\Rightarrow a$ .
------
Och negationen till $x\Rightarrow a$ är inte $x\Rightarrow b$ , utan istället $\neg x\Rightarrow a$ , vilket har samma sanningstabell som $x\wedge\neg a$ , dvs "x och inte a".

Tack så mycket för en utförlig genomgång! Jag ser tydligt att implikationer har fler dimensioner än utfall och att det mycket riktigt krävs en helt negerad tabell för att negera en implikation. Det jag tänkte var så här:

Om X på ena sidan så A på andra sidan är vår implikation. Alltså har vi två utsagor "X på ena sidan" och "A på andra sidan". Implikationen är falsk om "X på ena sidan" och "B på andra sidan" men detta är bara en av fyra möjliga utfallskombinationer. Därför är det precis som du skrev att $X \land B$ är utfallsförhållandet som falsifierar implikationen.

Ebola skrev:

Tack så mycket för en utförlig genomgång! Jag ser tydligt att implikationer har fler dimensioner än utfall och att det mycket riktigt krävs en helt negerad tabell för att negera en implikation. Det jag tänkte var så här:

Om X på ena sidan så A på andra sidan är vår implikation. Alltså har vi två utsagor "X på ena sidan" och "A på andra sidan". Implikationen är falsk om "X på ena sidan" och "B på andra sidan" men detta är bara en av fyra möjliga utfallskombinationer. Därför är det precis som du skrev att $X \land B$ är utfallsförhållandet som falsifierar implikationen.

Vad bra. Ja det där med implikationers sanningshalt är verkligen icke-intuitivt.

Om man sätter upp en sanningstabell så blir det hela väldigt tydligt.

-------

Jag ser nu att jag har skrivit fel - igen.

Jag skrev att negationen till $x\Rightarrow a$ är $\neg x\Rightarrow a$ , men jag menade $\neg (x\Rightarrow a)$ , dvs jag glömde parenteserna.

Jag ber om ursäkt för det.

Erika: Ur vilken bok har du hämtat exemplen?
Madrigalena: Tack för de uppskattande orden!
----------------------------

Här ännu ett lösningsförslag, inspirerat av diskussionen mellan Yngve och Ebola:

Följande kort kan förekomma: x/a x/b y/a y/b

Fyra möjligheter: 18+ 18- -alk +alk när korten läggs på bordet
[ y x a b ]

Regeln: “Om kortet på ena sidan har ett x så måste det på andra sidan ha ett a.”

Ser vi x måste vi kolla andra sidan: Om a, OK; om b, regelbrott.
Ser vi y behöver vi inte kolla, eftersom både y/a och y/b är OK.
Ser vi a behöver vi inte kolla, eftersom både x/a och y/a är OK.
Ser vi b måste vi kolla andra sidan: Om y, OK; om x, regelbrott.

Tydligen är x/b den enda kombination som bryter mot regeln!

Ser vi x måste vi därför kolla att det inte står b på andra sidan
och ser vi b måste vi kolla att det inte står x på andra sidan

Uttryckt med implikationer:
[x medför a] är ekvivalent med [icke-a medför icke-x], dvs med [b medför y].
Därför behöver vi kolla både x och b men inga andra, alltså varken y eller a.

Mer om problemet finns här:
https://en.wikipedia.org/wiki/Wason_selection_task