logaritmisk funktion

Hej! Jag har en uppgift som lyder:

Och rätt svar är alt. (d). Jag har dock aldrig sett förut att variabeln x förekommit som bas i logaritmen. Uttrycket inom logaritmuttrycket är alltid positivt, vilket leder en till tanken att funktionen är definierad för alla x. Men där ställer basen x till problem. Om man tänker att $f (x) = \log_{x} (x^{2} + x + 1) \Leftrightarrow f (x) = \frac{\ln (x^{2} + x + 1)}{\ln x} e n l i g t \log_{a} b = \frac{\ln b}{\ln a}$ så borde ju funktionen vara definierad för alla positiva x. Varför är svaret (d) ? Mycket tacksam för svar!

Vad är f(1)?

Hej!

Om talet $y = \log_x(1+x+x^2)$ så är det samma sak som att

$x^{y} = 1+x+x^2 = 0.75 + (x+0.5)^2.$

Högerledet är definierat för alla reella tal $x.$ Vänsterledet är definierat om $x > 0$ och $y$ är godtyckligt. För att högerledet och vänsterledet ska representera samma sak är det alltså nödvändigt att $x > 0.$

Du ser att oavsett vilket positivt tal $x$ du än väljer så kommer högerledet alltid att ge dig ett tal som är större än $0.75,$ men det är inte alltid säkert att $x^{y}$ ger dig ett tal som är större än $0.75$ .

Det mest lämpliga svarsalternativet är därför D.

Albiki

Haha, nu ser jag det, såklart!

Men i övrigt är min tolkning korrekt, att jag kan säga (i detta fall) att definitionsmängden blir alla x > 1 ?

Albiki:

Ja så kan man tänka, tack!

Men på sättet jag gör, genom att skriva om funktionen på det sättet jag gör i ursprungsinlägget, så ser man tydligt att definitionsmängden för f(x) blir alla x>1 och alltså inte något av svarsalternativen. Eller?

x behöver faktiskt inte vara större än 1, utan det räcker att x är positivt och skiljt från 1.

tarkovsky123_2 skrev :
Haha, nu ser jag det, såklart!
Men i övrigt är min tolkning korrekt, att jag kan säga (i detta fall) att definitionsmängden blir alla x > 1 ?

Definitionsmängden är större än sådär, exempelvis så fungerar ju också x = 1/2. Så definitionsmängden är $(0, 1) \cup (1, \infty)$ .

Japp, ni har helt rätt. Tänkte inte riktigt färdigt där, innan jag skickade inlägget.

Svara

Visa senaste svar