Logaritmisk derivering: förstår inte poängen

Jag har två uppgifter om logaritmisk derivering. Den första måste jag förklara massor grejer, den andra måste jag derivera något monstruöst.

Försök 1:

Försök 2:

$\frac{f' x}{f x} = \frac{2 x e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{1}{(\frac{1}{1 + x^{2}})} + 1 - \frac{\frac{\sin x}{2 \sqrt{\cos x}}}{\sqrt{\cos x}} - \frac{6 \ln^{5} x \frac{1}{x}}{\ln^{6} x} - \frac{2 \sin x \cos x}{\sin^{2} x}$

$f' x = \frac{e^{x^{2}} (a r c \sin x)^{2} x \sqrt{\cos x}}{{(\ln x)}^{6} \sin^{2} x} \cdot (2 x + 1 + x^{2} + 1 - \frac{1}{2} \tan (x) - \frac{6}{x \ln x} - \frac{\sin (2 x)}{\sin^{2} x})$

Resultatet är besvärligt.

Vad har vi detta logaritmisk derivering till? (aka kan någon förklara the magic?)

Hej!

Derivatan av $\ln(f(x))$ med avseende på $x$ är lika med kvoten $\frac{f'(x)}{f(x)}$ ; därav namnet Logaritmisk derivering.

Kvoten $\frac{f'(x)}{f(x)}$ beskriver den RELATIVA FÖRÄNDRINGEN hos funktionen $f$ , medan derivatan $f'(x)$ beskriver den ABSOLUTA FÖRÄNDRINGEN hos funktionen $f$ .

Om $f$ är en produkt av funktioner så är det matematiskt enklare att derivera logaritmen $\ln f$ än att direkt derivera funktionen $f$ ; den sökta derivatan fås som

$\displaystyle f'(x)=f(x)\cdot \ln'(f(x)),$

där $\ln'$ betecknar logaritmisk derivata.

Uppgift 3.17

Funktionens logaritm är

$\displaystyle \ln(f(x))=x^2+2\ln(\arcsin x)+\ln x + 0.5\ln (\cos x) - 6\ln(\ln x) - 2\ln(\sin x).$

De enskilda termerna är enkla att derivera med hjälp av Kedjeregeln.

Albiki skrev:
Kvoten $\frac{f'(x)}{f(x)}$ beskriver den RELATIVA FÖRÄNDRINGEN hos funktionen $f$ , medan derivatan $f'(x)$ beskriver den ABSOLUTA FÖRÄNDRINGEN hos funktionen $f$ .

Hej o tack!
Jag förstår, förutom detta om relativ och absolut förändring?

dajamanté skrev:
Albiki skrev:
Kvoten $\frac{f'(x)}{f(x)}$ beskriver den RELATIVA FÖRÄNDRINGEN hos funktionen $f$ , medan derivatan $f'(x)$ beskriver den ABSOLUTA FÖRÄNDRINGEN hos funktionen $f$ .
Hej o tack!
Jag förstår, förutom detta om relativ och absolut förändring?

Ett liknande koncept inom ekonomi brukar kallas för elasticitet (möjligen inom områden också).

Exempel: Låt $x$ vara priset på en vara du säljer och $f(x)$ antalet kunder du får vid det aktuella priset.

$\frac{x}{f(x)}f'(x) \approx \frac{\% \Delta f(x)}{\% \Delta x}$ talar om för dig procentuellt hur många nya kunder du får om du ändrar priset procentuellt.

Typ: "Om vi minskar priset på de här högtalarna med 20% så får vi 10% fler köpare".

Tack, mycket tydligt!

Svara

Visa senaste svar