Logaritmfunktioner

Vad i lösningen är det som du inte förstår?

Jag förstår inte hur x blir lika med e  (x=e) och sedan är faktiskt själva derivat processen  som är oklart för mig. Jag tänkte men förstod inte. 

Okej, vi tar det i tur och ordning då. Låt oss börja med deriveringen. I vilket steg hänger du inte längre med?

Vi vet att om vi deriverar e^kx :

e^kx= k.e^kx

I uppigiften y = x^(1/x) om man logaritmera båda sidor;  e^lny = e^(lnx.1/x) 

lny=lnx .1/x  eller lny = lnx/x  om jag deriverar båda leden: 1/y =( 1/x. x-lnx. 1)/x^2

Det är det enda som jag kan . 

Ojsan, nu har du rört till det lite.

Det de gör i uppgiften är inte att "logaritmera båda sidor", utan snarare att skriva om enbart HL. Eftersom exponentialfunktionen $e^x$ är inversfunktionen till $\ln x$ så gäller det att:

$a = e^{\ln a}$, vilket är det som de har gjort här. De har alltså gjort omskrivningen:

$\displaystyle x^{1/x}=e^{\ln (x^{1/x})}=e^{(1/x)\ln x}$

Sedan använder de kedjeregeln och produktregeln för att derivera funktionen. Är du med så långt?

Det är punkten som jag förstår inte. Hur deriverar e(1/x)lnx?

Man använder att för en funktion $y=f\left(g\left(x\right)\right)$ gäller att:

$\displaystyle y'\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}g}\cdot\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}$

I vårt fall kan vi tänka att:

$\displaystyle f\left(x\right) = e^x$ samt att $\displaystyle g\left(x\right) = \frac{1}{x}\cdot \ln x$.

Kommer du vidare nu?

Tach för hjälpen!

Det betyder att man kan derivera basen och exponenten separat, som yttre och inre funktioer. (Bas; e^x) och (Exponenten; 1/x⋅lnx) eller hur?

Ja, när du skriver att derivatan av e^(k*x) är k*e^(k*x) så är det bara ett enkelt specialfall. 

Med funktionen g(x)=k*x blir g'(x)=k och allmänna regeln är

e^(g(x)) = g'(x)*e^(g(x))

Ojj! tack så jättemycket för förklaringen. Nu förstår jag det.