Logaritmering

Sesame skrev :

 

Uppgiften är 3^x^2*3^2x=1/3. 

 

Parenteser är viktiga.

Om du menar $(3^x)^2\cdot 3^{2x}=1/3$ så kan du använda potenslagen $(a^b)^c=a^{bc}$ på vänsterledets första faktor och sedan potenslagen $a^b\cdot a^c=a^{b+c}$ på hela vänsterledet. Sedan blir det enkelt.

----

Om du istället menar $3^{(x^2)}\cdot 3^{2x}=1/3$ så kan du direkt använda potenslagen $a^b\cdot a^c=a^{b+c}$ på hela vänsterledet. Sedan blir det enkelt.

Hej Sesame,

Jag antar att du vill lösa ekvationen $3^{x^2}\cdot 3^{2x}=\frac{1}{3}$

Det första vi lägger märke till är att det är mycket 3:or upphöjt till något, t.ex. är $\frac{1}{3}=3^{-1}$.

Nu skulle vi kunna använda  potenslagen för multiplikation och få $3^{x^2+2x}=3^{-1}$ vilket nästan ger oss svaret direkt. Men eftersom din fråga heter "logaritmering" kan vi försöka använda logaritmer på något sätt någonstans i uppgiften.

Tar vi ln() för båda led och använder en välkänd logaritmlag får vi

$(x^2+2x)\cdot \ln(3)=-1\ln(3)$

Kommer du vidare nu?

Ja, jag kan lösa ekvationen med potenslagar och får då svaret x= -1. 

Men precis som du skriver vill jag förstå hur jag ska komma dit genom logaritmering.

Kan du visa hur det ser ut efter att du "tagit ln() för båda led"? 

Jag tror inte jag förstår hur omskrivningen görs...

Förtydligande: Jag förstår hur potenslagarna förhåller sig till logaritmerna, alltså att om 2^2=4 är samma som att lg_2(4)=2, dvs 2 är det man måste upphöja två till för att få 4. Men jag förstår inte hur jag ska tillämpa denna kunskap för att lösa en ekvation där resultatet av upphöjningen är okänt - x^2 respektive 2x. 

Sesame skrev :

Ja, jag kan lösa ekvationen med potenslagar och får då svaret x= -1. 

Men precis som du skriver vill jag förstå hur jag ska komma dit genom logaritmering.

Kan du visa hur det ser ut efter att du "tagit ln() för båda led"? 

Jag tror att du gör det svårare än det är. Vi har ekvationen:

$3^{x^2}\cdot 3^{2x}=\frac{1}{3}$

Om vi tar ln() för båda led får vi

$\ln(3^{x^2}\cdot 3^{2x})=\ln(\frac{1}{3})$

Nu utnyttjar vi potenslagen $x^a\cdot x^b=x^{a+b}$ för att skriva ihop 3:ornas potenser på vänster sida:

$\ln(3^{x^2+2x})=\ln(3^{-1})$

Det finns en logartimlag som säger att $\ln(a^r)=r\ln(a)$. Man ska alltså flytta ned exponenten framför logaritmfunktionen.

$(x^2+2x)\cdot \ln(3)=(-1)\cdot \ln(3)$

Nu kan vi dela båda led med $\ln(3)$ och lösa den resulterande andragradsekvationen. Klart!

______________________________________________________________________

För att riktigt öva testar vi att räkna med $\lg_3$ också!

$\lg_3(3^{x^2+2x})=\lg_3(3^{-1})$

Som du säger är $\lg_3(a)$ det man måste upphöja 3 till för att det ska bli a.

Det vi ska upphöja 3 till för att få $3^{x^2+2x}$ är just $(x^2+2x)$. Det vi ska upphöja 3 till för att få $3^{-1}$ är -1. Alltså

$x^2+2x=-1$

Tack för ditt svart. Allt är glasklart förutom en sak, och det är väl egentligen bra, för nu vet jag precis vad det är som ställer till det för mig. 

(i) Det som stör mig är att vi har ekvationen 

3^(x^2)*3^2x=3^-1 

och därifrån bara kan välja att ta ln() på båda sidorna. Jag förstår att det är en ekvation och att man kan utsätta båda sidorna för diverse manipulationer. Men om man t.ex multiplicerat båda sidorna med 10 så hade jag vetat vilken manipulation vi utsatt båda sidorna för. Nu när det står ln() så förstår jag inte vad det är som blivit annorlunda genom att vi skrivit ln(). 

Försök till förklaring: (ii) Vi har ekvationen 3^(x^2)*3^2x=3^-1 . Vi skulle också kunna ha till exempel a^b=c. Det kan vi skriva om som att lg_a(c)=b. Så när vi skriver ln_a^b=ln_c, så säger vi att det som vi behöver upphöja e till för att få a^b är samma sak som vi behöver upphöja e till för att få c? 

Tycker du att jag har lyckats lösa mitt problem (i) med min förklaring (ii)? Om inte kanske du kan förklara bättre ... ;) 

Tack så mycket för all hjälp! 

Sesame skrev :

Försök till förklaring: (ii) Vi har ekvationen 3^(x^2)*3^2x=3^-1 . Vi skulle också kunna ha till exempel a^b=c. Det kan vi skriva om som att lg_a(c)=b. Så när vi skriver ln_a^b=ln_c, så säger vi att det som vi behöver upphöja e till för att få a^b är samma sak som vi behöver upphöja e till för att få c? 

Tycker du att jag har lyckats lösa mitt problem (i) med min förklaring (ii)? Om inte kanske du kan förklara bättre ... ;) 

Helt rätt och jag tycker att det var en jättebra förklaring!

Ibland skriver man tom med e^(ln(bla bla). Så här

$a^b=c$

$e^{\ln(a^b)}=e^{\ln(c)}$

$\ln(a^b)=\ln(c)$

Jag håller med om att det kan kännas lite märkligt att ta $\lg_m()$ för båda sidor för någon logaritmfunktion m. Och det ska det göra. Man måste nämligen se till att man inte tar logaritmen av 0 eller något negativt och det är inte så att värdet av sidorna bevaras, däremot bevaras eventuellt likheten mellan argumenten. Så man måste iaktta viss försiktighet.