Logaritmer med olika baser (mafy)

Jag markerade uppgiften med gulfärg. Jag tänkte försöka hitta ett förhållande mellan baserna och på ena sidan så är exponenten 2 gånger större. Kan man då kvadrera andra sidan och så att man kan sätta den VL mot HL eller bryter jag mot matematiklagarna när jag gör såhär? Jag har aldrig stött på tal som detta.

Eller finns mer korrekta metoder att lösa denna uppgift?

Kom gärna med utvecklade lösningsförslag.

Tack på förhand.

Man kan väl resonera på lite olika sätt. Men ett sätt är att höja upp $x^2$ i båda leden.

$(x^2)^{\log_x(3 - x)} = (x^2)^{\log_{x^2}(8 - 3x - x^2)}$

$(x^{\log_x(3 - x)})^2 = 8 - 3x - x^2$

$(3 - x)^2 = 8 - 3x - x^2$

Ett annat sätt är att använda att

$\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}$

Notera här att $x = 1$ inte kan vara en lösning eftersom basen i en logaritm inte kan vara 1, den måste också vara positiv, så icke positiva lösningar fungerar inte heller.

Hej!

Steg 1. För vilka tal $x$ är ekvationen meningsfull? Eftersom man inte kan beräkna logaritmen för icke-positiva tal måste $(3-x)>0$ och $(8-3x-x^2)>0.$ Eftersom basen till en logaritm alltid är större än $1$ måste $x>1$ och $x^2>1.$ Du ser att talet $x$ måste uppfylla $1<x<3$ och $(x+1.5)^2<8-2.25$ , det vill säga $1<x<\sqrt{5.75}-1.5$ .

Steg 2. Skriv ekvationen på gemensam bas, vilket i detta fall är basen $x.$ Använd sambandet mellan baser som Stokastisk gett dig. Det låter dig skriva

$\log_{x^2}y = \frac{\log_x y}{\log_x x^2} = 0.5\log_x y$ .

Ekvationen blir

$\log_x(3-x) = 0.5\log_x(8-3x-x^2)$

vilken är samma sak som andragradsekvationen

$(3-x)^2 = 8-3x-x^2.$

Albiki

Svara