Logaritmer med absolutbelopp

Har inte riktigt förstått mig på hur derivering med aboslutbelopp och logaritmer fungerar.

Jag har en uppgift att derivera ln| ln|x| |. 

Såhär går min tankeprocess:

Derivera: $\ln \left(a\right) = \frac{1}{a}$$=\frac{1}{| \ln |x| |}$

Derivera inre funktionen(| ln|x| |): $\left|\frac{1}{\left|x\right|}\right| = \frac{1}{\left|x\right|}$(Jag tar bort absolutbeloppet runt hela divisionen då hela uttrycket alltid blir större än noll om vi har |x|. De är alltså onödiga.

Sen multiplicera ihop dom: $\frac{1}{| \ln |x| |}\times \frac{1}{\left|x\right|} =\frac{1}{\left|\ln \right|x\left|\right|\times \left|x\right|}$

I facit står det $\frac{1}{\ln \left|x\right|\times x}$

Vad gör jag fel?

Kan det vara så att göra flera uträkningar t.ex när x>0, x<0 och sen sammanslå dom?