Logaritmer (MaFy)

Här skulle jag börja med att skriva om båda leden med basen 2.

Man kan göra som du gör, och du har räknat rätt. Men för att komma vidare (utan miniräknare) måste du använda logaritmer med basen 2. Har du koll på dem så att du vet vad ${\log }_2\left(4\right)$ och ${\log }_2\left(\frac{1}{2}\right)$ är?

Annars kan du använda Smaragdalenas tips!

Jag har inte riktigt bra koll på logaritmer med olika baser. Har läst på om det nu. Jag har blivit lite varm i kläderna, men inte tillräckligt för att förstå hur varför man just använder basen 2 i den här uppgiften? Jag skulle anta att det är eftersom $x^2$. Men det som förvirrar mig mest är att högerledet är $(\frac{1}{2}{)}^{x-1}$ och hur kan det skrivas om med logaritmer med basen 2? 

Hej ATsmartis,

Du började mycket bra och fick $x^2\lg(4)=(x-1)\lg(\frac{1}{2})$

Notera nu att $4=2^2$ och $\frac{1}{2}=2^{-1}$. Du kan utnyttja samma logaritmlag igen:

$2x^2\lg(2)=(-1)(x-1)\lg(2)$

Kommer du vidare härifrån?

Guggle skrev :

Hej ATsmartis,

 

Du började mycket bra och fick $x^2\lg(4)=(x-1)\lg(\frac{1}{2})$

Notera nu att $4=2^2$ och $\frac{1}{2}=2^{-1}$. Du kan utnyttja samma logaritmlag igen:

$2x^2\lg(2)=(-1)(x-1)\lg(2)$

Kommer du vidare härifrån?

 

Hej Guggle, 

Jag kommer tyvärr inte vidare därifrån. Jag förstår själva grunden i att använda logaritmerna i uppgiften, att två upphöjt till något ska bli 4 och då används basen två. Men det jag inte förstår är högerledet med (x-1) vad gör man med det? 

Något * lg(2) = NågotAnnat * lg(2)

ATsmartis skrev :

Jag kommer tyvärr inte vidare därifrån. Jag förstår själva grunden i att använda logaritmerna i uppgiften, att två upphöjt till något ska bli 4 och då används basen två. Men det jag inte förstår är högerledet med (x-1) vad gör man med det?

Som Bubo påpekar kan du dela båda led med $\lg(2)$. Kvar får du ekvationen

$2x^2=(-1)(x-1)$

Om du istället undrade varför det blir lg(2) och en minus-etta gäller alltså $\lg(\frac{1}{2})=\lg(2^{-1})=(-1)\lg(2)$

Okej, jag tror det klarna lite nu. Så jag behöver inte använda mig av logaritmen med basen 2 alls? Utan bara logaritmlagen 2 gånger. 

Om någon skulle vilja lösa uppgiften med basen 2, så hade det varit lärorikt att se hur man skulle kunna göra.  

Men med lagen 2 gånger gick det smidigt, tack för hjälpen! 

$4^{x^2}=(\frac{1}{2})^{(x-1)}$

Istället för lg använder vi $\log_2$

$x^2\log_2(4)=(x-1)\log_2(\frac{1}{2})$

Nu vet vi att det tal vi ska upphöja 2 till för att få 4 är 2, alltså $\log_2(4)=2$

På samma sätt gäller $\log_2(\frac{1}{2})=-1$

Alltså får vi ekvationen

$x^2(2)=(x-1)(-1)$

Vilket naturligtvis är samma ekvation som tidigare.

Tack för hjälpen! :) 

Det kan ju vara bra att se ett sätt till, så jag visar helt utan logaritmer, för jag tror det var så Smaragdalena menade:

$4^{x^2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{(x-1)}$

Men vi vet att $4=2^2$ och $\frac{1}{2}=2^{-1}$ och kan då skriva:

$(2^2{)}^{x^2}={\left(2^{-1}\right)}^{(x-1)}$

Sedan skriver man om med lagarna för potensräkning:

$2^{2x^2}=2^{1-x}$

Men för att detta ska gälla så måste ju exponenterna vara lika:

$2x^2=1-x$

Och vi har fått samma andragradsekvation igen.