Logaritmer 4

Uppgiften är alltså

$(\log(x))^2 - 6 \log(x) = 16$?

Det ser ut som en andragradsekvation. Prova ett variabelbyte! Kalla t.ex. "log(x)" för $t$:

$t^2 - 6 t = 16$

Kan du lösa den?

EDIT: Logaritmlagen du använder gäller för $\log(x^2)$, inte $\log(x)^2$. Viktigt var exponenten sitter!

Ska man faktorisera den då?

För om vi tar det exemplet du gav så blir det väl så?

t(t-6) = 16 ?

Nej, du behöver använda pq-formeln. Att faktorisera VL är användbart om HL = 0, men det är det ju inte i det här fallet.

Faktorisering som metod för att lösa ekvationer är mest användbart när konstanten är noll, dvs. om 16 i högerledet hade varit noll. Då kan man använda nollproduktmetoden, men nu går inte det. Då är PQ-formeln bättre.

PQ-formeln kan du dessutom alltid använda på andragradsekvationer, så om du bara ska komma ihåg en enda metod, kom ihåg den. Andra sätt, som nollproduktmetoden, är genvägar som fungerar ibland (men de är ändå bra att kunna).

Så ska jag använda pq-formel med min uppgift? Jag minns inte riktigt hur det ska vara..

Blir det så här? 

log x = $\frac{6 \log \left(x\right) }{2}\pm \sqrt{\left(\frac{6 \log \left(x\right) }{2}\right)}^2$-16?

Eller..

t blir 8 eller -2. Det finns alltså 2 lösningar

t=logx=8 eller t=logx=-2

Nu kan du väl bestämma x i de två fallen?!

Inte riktigt så, variabeln ska du bara ha i vänsterledet. Formeln kan du alltid kolla upp om du glömmer. Och jag tror det är lättare att först lösa ekvationen med variabeln t = log(x), så att logaritmen byts bort:

$t^2 - 6t = 16$

Det är inte att man måste göra ett sånt här byte, men fördelen är att du kan göra en sak i taget: Först lösa en vanlig andragradsekvation, sen hantera logaritmen. Så fokusera först på att lösa den här t-ekvationen, med pq-formeln.

jag förstår fortfarande inte.. Blir det så här?

t = 3t $\pm$ $\sqrt{{\left(3t\right)}^2}$?

Du behöver träna mer på andragradsekvationer! Det är en viktig del av kursen. Lite kort då:

En andragradsekvation kan alltid skrivas på formen

$x^2 + px + q = 0$

och när den gör det kan man använda PQ-formeln. Vi ska alltså ha noll i högerledet, så från $t^2 - 6t = 16$ drar vi bort 16 från båda led och får:

$t^2 -6t - 16 = 0$

Nu står ekvationen på den form som PQ-formeln kräver. Jämför nu den generella andragradsekvationen med den här. Ser du att $p$ (koefficienten till t) i vårt fall är -6, och $q$ (konstanttermen) är -16? PQ-formeln säger nu att lösningarna ges av

$t = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$

Vi kan alltså sätta in vårt p och q här för att hitta de två olika värden som t kan ha: en lösning när tecknet i mitten är ett plus, en annan när tecknet är ett minus.

bellisss, du har 4 trådar med rubriken Logaritmer. Detta gör det svårt för oss som svarar, eftersom vi inte kan veta om det är den tråd vi svarat i som har fått ett nytt svar, eller om det är en annan tråd. Jag justerar dina rubriker, eftersom du bara kan ändra trådarna innan de är mer än 2 timmar gamla. /moderator