Logaritmekvation

Hej, jag har en fråga gällande en logaritmekvation som ser ut så här:

$25^{x} - 5^{x} - 6 = 0$

Facit föreslår att man löser ekvationen genom att först omvandla $25^{x}$ till $(5^{2})^{x}$

och sedan substituerar man $5^{x}$ med en variabel $t$ . Man får då en ekvation som ser ut så här:

$t^{2} - t - 6 = 0$

därefter kan man få fram lösningen $x = \log_{5} 3$

Jag är med på hur man kommer fram till denna lösning steg för steg.

Vad jag inte är med på är varför det blir fel svar när man istället räknar så här:

$25^{x} - 5^{x} - 6 = 0 (5^{2})^{x} - 5^{x} - 6 = 0 5^{2 x} - 5^{x} - 6 = 0 5^{2 x} - 5^{x} = 6 \log_{5} 5^{2 x} - \log_{5} 5^{x} = \log_{5} 6 2 x - x = \log_{5} 6 = x$

Var någonstans blir det fel och varför?

MVH

Du kan inte logaritmera termvis (näst sista raden), eftersom

$\log (a) + \log (b) \neq \log (a + b)$

Tack för svaret. Det blir väll istället: $\log_{5} (5^{2 x} - 5^{x}) = \log_{5} (6)$

Vilket inte hjälper så mycket jämfört med ekvationen $5^{2 x} - 5^{x} = 6$ . Eller går det att lösa på ett smidigt sätt?

MVH

Hej!

$25^x = (5^2)^x = 5^{2x} = (5^x)^2$

Inför nu $t=5^x$ för att få en andragradsekvation!

Robbas skrev :
Hej!
$25^x = (5^2)^x = 5^{2x} = (5^x)^2$

Inför nu $t=5^x$ för att få en andragradsekvation!

Det står redan med i inlägget.

Dunderklumpen skrev :
Robbas skrev :
Hej!
25x=(52)x=52x=(5x)2 25^x = (5^2)^x = 5^{2x} = (5^x)^2

Inför nu t=5x t=5^x för att få en andragradsekvation!
Det står redan med i inlägget.

Ja, men det utnyttjas inte i hens lösningsförslag...

abc123abc skrev :
Tack för svaret. Det blir väll istället: $\log_{5} (5^{2 x} - 5^{x}) = \log_{5} 6$
Vilket inte hjälper så mycket jämfört med ekvationen $5^{2 x} - 5^{x} = 6$ . Eller går det att lösa på ett smidigt sätt?
MVH

Det enda smidiga sättet att lösa den ekvationen är att gå tillbaka och lösa den som du gjorde först. Om du hade fått ekvationen $\log_{5} (5^{2 x} - 5^{x}) = \log_{5} 6$ borde du alltså börja med att göra om den till $5^{2 x} - 5^{x} = 6$ och sedan fortsätta precis som du skrev.

abc123abc skrev :
Hej, jag har en fråga gällande en logaritmekvation som ser ut så här:
$25^{x} - 5^{x} - 6 = 0$
Facit föreslår att man löser ekvationen genom att först omvandla $25^{x}$ till $(5^{2})^{x}$
och sedan substituerar man $5^{x}$ med en variabel $t$ . Man får då en ekvation som ser ut så här:
$t^{2} - t - 6 = 0$
därefter kan man få fram lösningen $x = \log_{5} 3$
Jag är med på hur man kommer fram till denna lösning steg för steg.
Vad jag inte är med på är varför det blir fel svar när man istället räknar så här:
$25^{x} - 5^{x} - 6 = 0 (5^{2})^{x} - 5^{x} - 6 = 0 5^{2 x} - 5^{x} - 6 = 0 5^{2 x} - 5^{x} = 6 \log_{5} 5^{2 x} - \log_{5} 5^{x} = \log_{5} 6 2 x - x = \log_{5} 6 = x$
Var någonstans blir det fel och varför?
MVH

Hej!

Felet ligger på rad 5.

Om den räkneregeln skulle gälla så skulle följande beräkning vara korrekt, enligt dig. $\log_{10}100-\log_{10}10=\log_{10}90.$ Men $\log_{10}100-\log_{10}10 = 2-1 = 1$ och $\log_{10}90 \approx 1.95.$

Tack för alla svaren!

Svara

Visa senaste svar