log-likelihood funktion för en normalfördelning

Hej, jag håller på med en gammal tentamen i kursen Statistisk infernos teori och skulle behöva ha hjälp med att tolka nedanstående fråga:

Jag vet vad likelihood och log-likelihood funktionerna för en normalfördelning är (det är en normalfördelning som vi har given, detta kan man se via täthetsfunktionen) men det jag har lite svårt att tolka är vad det innebär att hitta log-likelihood funktionen för $\sigma$ - skiljer det sig något med för hur man göra vanliga fall när man vill ta fram $L(\mu,\sigma^2)$ och $l(\mu,\sigma^2)$ i en normalfördelning?

Om det inte är någon skillnad och det är dessa jag ska ta fram, då undrar jag hur jag ska göra för att finna en score vector av $\sigma$ - kan jag beräkna denna för $\frac{dl(\mu,\sigma^2)}{d\sigma^2}$ eller är det skillnad mellan att använda $\sigma$ respektive $\sigma^2$ i detta sammanhang?

Att hitta log-likelihooden för sigma borde inte skilja sig alls från att log-likelihooden för (mu,sigma^2) förutom det faktum då att funktionen bara har en variabel då, mu är bara en konstant då.

Däremot vad gäller scorevektorn så nej, det blir skillnad på om du betraktar likelihooden som en funktion av sigma eller av sigma^2.

Däremot finns det en viktig sats som kortfattat säger att maximum-likelihood skattningen är invariant under re-parametrisering. Så i det här fallet kommer scoreekvationen se olika ut beroende på om du behandlar sigma eller sigma^2 som parametern men lösningen till den ena score-ekvationen kommer att vara precis roten ur lösningen till den andra. Om det inte vore så så vore maximum likelihood skattning inte en rimlig metod för statistisk inferens.

Testa för att verifiera! (Typisk tentafråga är detta)

Smutsmunnen skrev:
Att hitta log-likelihooden för sigma borde inte skilja sig alls från att log-likelihooden för (mu,sigma^2) förutom det faktum då att funktionen bara har en variabel då, mu är bara en konstant då.

Däremot vad gäller scorevektorn så nej, det blir skillnad på om du betraktar likelihooden som en funktion av sigma eller av sigma^2.

Däremot finns det en viktig sats som kortfattat säger att maximum-likelihood skattningen är invariant under re-parametrisering. Så i det här fallet kommer scoreekvationen se olika ut beroende på om du behandlar sigma eller sigma^2 som parametern men lösningen till den ena score-ekvationen kommer att vara precis roten ur lösningen till den andra. Om det inte vore så så vore maximum likelihood skattning inte en rimlig metod för statistisk inferens.

Testa för att verifiera! (Typisk tentafråga är detta)

Tack för ett väldigt informativt svar! Då tolkar jag det som att det är $\frac{dl(\sigma)}{d\sigma}$ jag ska ta fram i mitt fall, är det korrekt?

Helt korrekt.

Svara

Visa senaste svar