lnx = integral

Hej, jag behöver hjälp med följande uppgift:

"Funktionen f(x) = lnx (x > 0) brukar definieras $f (x) = \int_{a}^{x} \frac{1}{t} d t$

Vad ska a vara?".

Jag tänker att lnx för ett visst värde på x defineras som arean mellan grafen, x-axeln och mellan de vertikala linjerna x= a och x=x (för ett visst värde på x). Jag prövade att utveckla integralen men insåg att den primitiva funktionen för 1/t blev konstig: 1/t = t^-1 så den primitiva funktionen blir $\frac{t^{- 1 + 1}}{- 1 + 1} = \frac{1}{0}$ som är odefinierat. Jag vet inte riktigt hur jag ska fortsätta och om jag ens tänker rätt. Tacksam för svar! :)

Prova att sätta övre gränsen till a:

$\displaystyle\ln(a) = \int_a^a \frac{1}{t} \text dt$

Utan att gå in på primitiva funktioner etc, vad blir den här integralens värde?

Jag tänker att eftersom a är både den undre och övre gränsen borde integralens värde vara 0?

Japp! Alltså har du att ln(a) = 0. Då kan du lista ut vad a måste vara, med hjälp av vad du vet sen tidigare om ln-funktionen =)

Jaha ok då förstår jag, ln(a) = 0 $\leftrightarrow$ a = 1. Jag undrar bara, är det så oavsett vad den övre gränsen är, alltså om den inte är a?

Arminhashmati skrev:
Jaha ok då förstår jag, ln(a) = 0 $\leftrightarrow$ a = 1. Jag undrar bara, är det så oavsett vad den övre gränsen är, alltså om den inte är a?

Ja. Du kommer att lära dig mer om detta om du läser Ma4.

Vad kul, det ska jag göra nästa år! Tack för hjälpen hörni! :D

a är en okänd konstant, den ändras inte. x kan däremot variera, och tillexempel kan x anta värdet a. Genom att titta på det specifika fallet kan vi se att ekvationen ln(a) = 0 är ett villkor som begränsar (bestämmer, rent av) vad a kan ha för värde.

Alternativt kan också bara använda definitionen man blir given i uppgiften och integrera direkt, vi får då ln(x)-ln(a) som går att skriva om med lagarna för logaritmer och detta ger då ln(x/a) vilket tvingar a = 1 om vi skall få ln(x).

Svara

Visa senaste svar