Ln(x), x -> ∞

Jag tror (om jag har fel, får ni rätta mig!) att man inte får skriva så som du har gjort. 

Integralen är generaliserad, vanligt är att man skriver typ:

$\displaystyle \int _3^R \dfrac{1}{x(x-2)}dx$ och sedan skriver att R går mot det funktionen är generaliserad i. Dvs, precis som du har gjort nu men att du byter ut x mot $R$ eller vilken annan variabel du vill.

För att besvara din andra fråga, jag tycker din skiss av ln(x) är bra och tydligt visar vad som ln(x-2) går mot. Eller hur? :)

Går båda mot oändligheten? När jag lägger in både y=ln (x) och y=ln (x-2) i grafprogram så ökar de men ganska långsamt, och eftersom de inte har någon asymptot så går den inte mot något specifikt värde?

De båda går mot oändligheten?

Ja, ln(x) växer väldigt sakta. Den har faktiskt en asymptot, men i $x=0$ men jag förstår vad det är du försöker säga. 

Ett enklare sätt (om du behöver motivera) är att använda derivatan. 

$(\ln x) ' = 1/x$ men om $x > 0$ är $1/x$ alltid positiv, vilket betyder att $\ln x$ är strikt monoton på hela R för $x > 0$.

Aha, så båda går mot oändligheten eftersom lutningen på graferna alltid är positiv?

Jag ser nu att den har en asymptot i y-axeln där den vill närma sig x=0, men den vill däremot ha ett större x-värde då x->oändligheten så då kan den ju gå mot oändligheten eftersom det finns inga asympteter efter x=0 (som kan "hindra" att den går mot oändligheten)?

Man borde väl kunna resonera så också?

Jag vet faktiskt inte om det finns något undantag. Diskontinuerliga funktioner kan ju skära sina asymptoter. Sdan finns det funktioner som har asymptoter bara på ena sidan som:

$|y|=\dfrac{|x|}{(x-1)}$

Aha, tack