Ljuduppgift 2

Jag förstår dina anteckningar (förutom "-nästan samma våglängd för vågorna"), men du gör dig själv en björntjänst när du inte använder olika namn/symboler för olika mängder.

Jag skulle använda följande symboler (för punkt b) ):

$$\begin{gathered} f =1060 Hz \\ f\text{'} = 2*f \\ \lambda = \frac{v}{f} = 32 cm \\ {\lambda }^{\text{'}} = \frac{v}{f\text{'}} =\frac{v}{2f} = \frac{\lambda }{2} \\ ∆S_1 = avståndsskil\ln aden för Q vid f \\ ∆{S_1}^{\text{'}} = avståndsskil\ln aden för Q vid f\text{'} \\ ∆S_2 = avståndsskil\ln aden för R vid f \\ ∆{S_2}^{\text{'}} = avståndsskil\ln aden för R vid f\text{'} \end{gathered}$$

Du påstår, men bevisar inte, att mindre $∆S$ (dvs $∆{S_2}^{\text{'}} < ∆S_2$) innebär att R förflyttas närmare P.
Du bevisar inte heller att om både R och Q förflyttas närmare P, så förflyttas de också närmare varandra. (Och denna implikation är faktiskt falsk.)

Svaret på d) är rätt, det kan baseras på b), men ett geometriskt bevis saknas fortfarande för b) och c).

Du har väl sett denna tråd: https://www.pluggakuten.se/trad/ljuduppgift-1/#:~:text=Tv%C3%A5%20h%C3%B6gtalare%20avger%20en%20ton,blir%20svagt%20i%20punkt%20Q.&text=Peter%20upprepar%20f%C3%B6rs%C3%B6ket%20p%C3%A5%20samma%20s%C3%A4tt%20som%20tidigare.

Där ThomasN's förklaring är det bästa jag har sett hittills. Men det är bara en visualisering av lösningen och inte ett rigoröst bevis.

Man bör faktiskt analysera funktionen som beskriver avståndsskillnaden i förhållande till PR-avståndet:

$∆S = \sqrt{d^2+{(x+\frac{c}{2})}^2}-\sqrt{d^2+{(x-\frac{c}{2})}^2}$

där

c=avståndet mellan högtalarna

d=avståndet mellan högtalarnas linje och PRQ linje

x=PR avstånd

Och denna funktion är inte så lätt att analysera. Du kan t.ex. använda wolframalpha med fixa c och d parametrar:

WolframAlpha

Här ser du att funktionen är monoton växande, och det innebär att mindre $∆S$ resulterar i mindre x. Men det räcker inte för att kunna svara på b). Om både PQ och PR minskar, betyder det inte att RQ också minskar. (T.ex. om PQ' = PQ - 1 och PR' = PR - 2 då blir R'Q' = RQ + 1.)

För att kunna svara på b) behöver du analysera derivatan av ovanstående funktion:

WolframAlpha

Derivatan är monoton avtagande, och det betyder verkligen att om man  tar

x₁ och x₂ så att $∆S\left(x_2\right) = 3∆S\left(x_1\right)$ (x₁ = PR avstånd och x₂ = PQ) 

och  x₁' och x₂' så att $∆S(x_2\text{'}) = 3∆S(x_1\text{'})$ (x₁' = PR' avstånd och x₂' = PQ' avstånd)

och $∆S(x_1\text{'}) < ∆S\left(x_1\right)$ (dvs $\lambda \text{'} < \lambda$)

då blir x₂' - x₁' < x₂ - x₁ (dvs R'Q' < RQ)

----------

För att kunna svara på c) måste du analysera hur denna funktion beter sig med avseende på c-parametern.

----------

Jag gillar inte denna uppgift, den är komplicerad att lösa ordentligt.

Jag förstår lite hur jag ska tänka nu , men hängde inte riktigt bra med i c delen.

Tack för hjälpen ! 

Ledtråd för c): uttrycket är symmetriskt på x och c/2 (att öka/minska x, eller c/2 med samma tal har samma effekt på $∆S$ )