Lite tips på krångliga integraler?

Det står i Pluggakutens regler att varje fråga skall ha sin egen tråd. Jag låser den här tråden, men du får gärna göra en tråd om varje integral. /moderator

Åttan är en standard-integral som du bör kunna. $\int\dfrac{1}{1+x^2}dx=arctan(x)$. Du kan enkelt använda $x=tan(u)$ för att lösa den. 

Nian kan du använda $x=sin(u)$. Integralen av $\int cos(u)^2du$ kan inte anses svår att göra. Använd trigonometriska identiteter.

6:an är en lätt match om man inser att den kan skrivas som:

$\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x}}\ dx=\int_0^{\frac{1}{2}}\left(1-x\right)^{-\frac{1}{2}}\ dx$

som enkelt kan beräknas med en lämplig substitution.

7:an finns två sätt att analysera.

Antingen är man bekant med de hyperboliska trigfunktionerna och vet att:

$\dfrac{d}{dx}[\tanh\left(x\right)]=\dfrac{1}{1-x^2}$

eller så får man partialbråksuppdela:

$\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{1}{1-x^2}\ dx=\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{A}{1-x}\ dx+\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{B}{1+x}\ dx$