Liouvilles ekvation - PDE/Stereografisk projektion/Konforma avbildningar

Hej!

Jag har följande ekvation som jag önskar att lösa:

$\Delta W = -2Ke^{W}$ med $K=1$, $W = W\left(u,v\right)$.

Ekvationen härleds från differentialgeometri där K är den konstanta krökningen för ytan S där $\sigma : U \subset \mathbb{R}^{2} \to S$  är en diffeomorfism och $W = ln(G)$ där $G=E$ är koefficienterna i första fundamentala formen (och vi har att $F= \langle \sigma_{u}, \sigma_{v} \rangle=0$). Dvs $G = E = \langle \sigma_{u}, \sigma_{u} \rangle = \langle \sigma_{v}, \sigma_{v} \rangle$.

Ekvivalent kan vi skriva ekvationen som $\frac{\partial^{2}W}{\partial z \partial \bar{z}} = -\frac{1}{2}Ke^{W}$ med $W=W\left(z, \bar{z}\right)$, och $z = u+iv$. 

Eftersom $K=1$ så kan vi "låtsas" att vi är på enhetssfären, eftersom (någon känd sats) säger att olika ytor med samma konstanta krökning är lokalt isometriska (säger man så?). Tipset jag fått är att försöka hitta alla konforma avbildningar på $\mathbb{C}$ vilket då är alla $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ sådana att $f'(z) \neq 0$ för alla $z \in \mathbb{C}$.

Efter det så beräknar vi kompositionen av sterografiska projektionen (som också är konform och kompositionen är då också konform) med detta $f$ med inversen till den stereografiska projektionen, så vi får en funktion: $\Phi = \Psi^{-1} \circ f \circ \Psi : S^{2} \to S^{2}$, där $\Psi$ är den stereografiska projektionen.

Jag fastnar dock i uträkningen av $\Phi$ samt så förstår jag inte varför vi kräver att $f$ skall vara konform?

Min uträkning: (jag använder att Tapp. Differential Geometry of Curves and Surfaces p.175).

Låt $p \in S^{2}$, då kan $p$ skrivas som $p = \left(rcos(\theta), rsin(\theta), \sqrt{1-r^{2}}\right)$ för nåt $\theta$ och $1 \geq r>0$. Då har vi att $\Psi\left(rcos(\theta), rsin(\theta), \sqrt{1-r^{2}}\right) = \left(Rcos(\theta),Rsin(\theta)\right)$ där $r=\frac{4R}{R^{2}+4}$. När jag använder det så skriver jag:

$\Psi\left(p\right) = \Psi\left(\frac{4R}{R^{2}+4}cos(\theta), \frac{4R}{R^{2}+4}sin(\theta), \sqrt{1-\frac{16R^{4}}{\left(R^{2}+4\right)^{2}}}\right) = \left(Rcos(\theta),Rsin(\theta)\right)$.

Sen får vi då $f\left(Re^{i \theta}\right)=...$? Det måste jag väl veta för att kunna använda $\Psi^{-1}$?

Jag förstår som sagt inte heller varför vi vill att funktionen $f$ skall vara konform...?

Hur ska man gå vidare efter man hittat $\Phi$? Det är ju bara en vektor i $S^{2}$, men vi vill ju hitta $W = ln(E) = ln(G)$ och vi vet ju att $G = \langle \sigma_{u}, \sigma_{u} \rangle \in \mathbb{R}$.

Tacksam för alla svar.

EDIT: Lösningen är känd, men problemet är att jag inte vet hur jag ska komma fram till den (med $K=1$):

$W\left(z, \bar{z}\right) = \ln{\left(4\frac{\vert\frac{df(z)}{dz}\vert^{2}}{\left(1+K \vert f(z) \vert ^{2}\right)^{2}}\right)}$ där $\frac{df}{dz} \neq 0$ för alla $z \in \mathbb{C}$ och f(z) har som mest enkla poler. (Liouville equation på wikipedia).