Liouville sats inom komplex analys

Sats. Varje komplexvärd funktion som är hel över de komplexa talen och begränsad är konstant.

Bevis. Låt $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ vara en hel funktion. Då kan den representeras av en Maclaurinserie,

$f(z) = c_0+c_1z+\frac{c_2}{2}z^2+\frac{c_3}{3!}z^3+\cdots$

vars koefficienter (utom $c_0$ ) ges av Cauchys integralformel

$\displaystyle c_k = \frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(w)}{w^{k+1}}\,dw$

där kurvintegralen beräknas längs cirkeln $\gamma$ vars centrum är $z=0$ och radie ( $R$ ) är godtyckligt vald.

Anta att funktionen $f$ är begränsad, så att det finns ett positivt tal $M$ sådant att $|f(w)| \leq M$ för alla $w\in\mathbb{C}.$ Då följer det att

$|c_k| \leq \frac{M}{R^{k+1}}\ , \quad k\geq 1.$

Eftersom radien $R$ är godtyckligt vald så finns det bara ett möjligt värde på $c_k$ som kan uppfylla denna olikhet och det är $c_k=0.$

Kontrapositiv formulering: Varje icke-konstant komplexvärd funktion som är hel över de komplexa talen är obegränsad.

Enkel följdsats: Varje icke-konstant komplexvärd funktion som är hel över de komplexa talen har en värdemängd som är tät bland de komplexa talen.

Bevis av kontrapositiva formen av följdsatsen. Anta att värdemängden ( $V_f$ ) till funktionen $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ är en icke-tät delmängd av $\mathbb{C}$ . Då finns det en punkt $w \in \mathbb{C}$ och en öppen cirkelskiva med viss radie $\rho$ kring denna punkt så att $V_f$ ligger utanför cirkelskivan.

Då kan man definiera en funktion $g:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ som är hel över de komplexa talen.

$g(z) = \frac{1}{f(z)-w}\ , \quad z\in\mathbb{C}.$

Eftersom $f(z)$ ligger utanför cirkelskivan gäller det att $|f(z)-w| > \rho$ och detta avser alla $z\in \mathbb{C}$ , vilket betyder att funktionen $g$ är begränsad.

Enligt Liouvilles sats är då $g$ konstant vilket medför att funktionen $f$ konstant.

Svara