Linjär optimering/Olikheter och dess hörnkoordinater

Hej. Är följande till hjälp?

Det svåra är ofta att införa lämpliga obekanta storheter (vanligtvis x och y) och att sedan med hjälp av dessa formulera både målfunktionen och de linjära samband/olikheter som gäller.

Nästa steg är lämpligen att visualisera det tillåtna området genom att skissa motsvarande räta linjer i ett koordinatsystem. Detta kan göras med hjälp av ngt digitalt hjälpmedel (Geogebra) eller för hand.

Hörnpunkterna hittar du sedan genom att lösa det ekvationssystem du får av de räta linjernas ekvationer. Även här kan du få hjälp av Geogebra men det går bra att göra för hand.

Och så länge det rör sig om linjära ekvationer/målfunktion så räcker det, som du skriver, att ta fram och jämföra målfunktionens värde i områdets hörnpunkter.

Ta gärna fram ett exempel på uppgift så kan vi lösa den tillsammans.

Hej Yngve,

Toppen, jo förstår, men som sagt Geogebra har jag inte jobbat i så det alternativet e som sagt borta just nu för mig utan det e algebraisk lösning som gäller just nu för mig. Jag har kikat en video och såg där att man får ut dessa hörn/linjekoordinater av att lösa ut y/x från olikheterna. Men kan ta en då så kan väl du räkna ut den algebraiskt så följer jag det du gör/gjort

Hittade dock inga exempel ,det finns i videos men här e en länk med tre, o ett exempel även längst upp, olika uppgifter från NP som e relevanta. Så om du kunde,om du har tid o lust lösa dem åt mig så jag ser hur man får ut hörnkoordinaterna bla, förutom alla steg som ingår.

Mvh/H

https://vidma.se/linjar-optimering/

Men där finns det väl redan videogenomgångar av lösningar till uppgifterna? Jag har inte tittat igenom alla, men jag vet inte om du får ut mer av att även jag visar en lösning?

Titta på videofilmerna och fråga oss om allt som du vill att vi förklarar närmare.

Hej,

Jo, men vet inte om han löser dem med grafräknare och/eller genom GG, men får kika. Men om han inte gör det behöver jag hjälp med att få ut hörnkoordinaterna algebraiskt. Om du tar det första exemplet som e överst med byrån, o pallen o visar mig hur man löser den algebriaskt och då specikfikt med hörnkoordinatrna i det relevant området/linjerna.

Mvh/H

OK vi tar det första exemplet med pallar och byråer:

Del 1: Identifiera de villkor som måste uppfyllas.

Montering:

• Att montera $x$ pallar tar $0,25x$ timmar.
• Att montera $y$ byråer tar $0,50y$ timmar.
• Båda dessa sakerna måste hinnas med på $15$ timmar, vilket ger oss det första villkoret $0,25x+0,50y\leq15$

Lackning:

• Att lacka $x$ pallar tar $0,40x$ timmar.
• Att lacka $y$ byråer tar $1,00y$ timmar.
• Båda dessa sakerna måste hinnas med på $25$ timmar, vilket ger oss det andra villkoret $0,40x+y\leq25$

Antal möbler:

Det kan inte finnas ett negativt antal möbler, vilket ger oss det tredje villkoret $x\geq0$ och det fjärde villkoret $y\geq0$

Vi har nu alltså de fyra villkoren

• $0,25x+0,50y\leq15$
• $0,40x+y\leq25$
• $x\geq0$
• $y\geq0$

Del 2: Rita upp området och ta reda på hörnkoordinaterna

Här ritar vi i ett koordinatsystem in de fyra linjer som motsvarar likhet i de fyra villkoren, dvs

$0,25x+0,50y=15$, dvs $y=30-0,5x$

$0,40x+y=25$, dvs $y=25-0,4x$

$x=0$

$y=0$

Jag gör det i Desmos, men du kan lika gärna göra det för hand.

Här är det viktigt att tänka på att tillåtna punkter $(x, y)$ är de som uppfyller alla olikheter, dvs alla punkter

• under linjen $y=30-0,5x$
• under linjen $y=25-0,40x$
• till höger om linjen $x=0$
• ovanför linjen $y=0$

Eftersom hörnpunkterna utgörs av skärningspunkter mellan linjerna så hittar vi dem genom att lösa ekvationerna

$30-0,5x=25-0,4x$, vilket ger oss hörnet $(50,5)$

$30-0,5x=0$, vilket ger oss hörnet $(60,0)$

$y=25-0,40\cdot0$, vilket ger oss hörnet $(0,25)$

Hörnet i origo, dvs $(0,0)$, får vi "gratis".

3. Undersök vilken kombination som är mest optimal

Det vi vill optimera är vinsten.

Vinsten per pall är 150 kronor och vinsten per byrå är 320 kronor.

Den totala vinsten från x pallar och y byråer är därför V(x, y) = 150x+320y

Detta är vår målfunktion.

Vi tar nu fram målfunktionens värde i de fyra hörnpunkterna:

• V(0, 0) = 150•0+320•0 = 0 konor.
• V(0, 25) = 150•0+320•25 = 8000 kronor.
• V(60, 0) = 150•60+320•0 = 9000 kronor.
• V(50, 5) = 150•50+320•5 = 9100 kronor.

Vi set att den maximala vinsten är 9100 kronor och att den fås vid tillverkning av 50 pallar och 5 byråer.

Hej,

E med på stegen, hoppas komma ihåg dem. Men man sätter lika med för att räkna ut y sedan får man ut hörnkoordinaterna genom att  man sätter dem mot varandra där dem skär,ok.

Nör man går up till punkten/hörnet 0,25 så  tar man/du gånger istället  för att sätta lika med varför sätter man inte lika med här också ? Förstår att det blir fel men hur tänker man?

Mvh/H

Henrik 2 skrev:

Nör man går up till punkten/hörnet 0,25 så  tar man/du gånger istället  för att sätta lika med varför sätter man inte lika med här också ? Förstår att det blir fel men hur tänker man?

Hörnet (0, 25) hittar vi genom att ta reda på var linjen y = 25-0,4x skär y-axeln. Det gör den vid x = 0. Därför sätter jag in X = 0 i den räta linjens ekvation och tar fram y-koordinaten.

Om du vill.så kan du istället skriva ekvationen på formen y = kx+m.

Den blir då y = -0,4x+25 och du ser då att m-värdet är lika med 25. Linjen skär alltså y-axeln vid y = 25.

========

Om vi istälöet vill göra på samma sätt även här och sätta två ekvationer lika med varandra så kan vi skriva om den linjens ekvation y = 25-0,4x som x = 25/0,4-y/0,4.

Nu vill vi veta var den linjen skär linjen x = 0.

Då kan vi sätta dessa lika med varandra, vilket ger oss 0 = 25/0,4-y/0,4.

Detta ger oss att y = 25.

Hej,

Ok, e väl halvt om halvt med vad du säger, dock förstår jag inte varför man  tar gånger. Men att den skär y-axeln där x=0.

Jag kikade video och där så kunde man hoppa över detta steg med hörnkoordinater och komma fram till den mest optimala lösnngen och vinsten. Hon tog olikheterna och sedan satte hon minus,tog minsu 2 i den ena och subtraherade med den andra olikheten och fick på så sätt ut direkt den maximala kombin av produkter.

Henrik 2 skrev:

Ok, e väl halvt om halvt med vad du säger, dock förstår jag inte varför man  tar gånger. Men att den skär y-axeln där x=0.

Vad menar du med att man "tar gånger"?

Vilken multiplikation är det du undrar över?

Jag kikade video och där så kunde man hoppa över detta steg med hörnkoordinater och komma fram till den mest optimala lösnngen och vinsten. Hon tog olikheterna och sedan satte hon minus,tog minsu 2 i den ena och subtraherade med den andra olikheten och fick på så sätt ut direkt den maximala kombin av produkter.

Vilken video var det?

minus 2

Ska ge dig länk..

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/nationella-prov/nationella-provet-ht12-3b/uppgift-20#!/

Du tog multiplikartion/gånger i en av olikheterna där dem skär varandra.dvs .för att räkna ut skärningspunkten 0,25.

Henrik 2 skrev:

Du tog multiplikartion/gånger i en av olikheterna där dem skär varandra.dvs .för att räkna ut skärningspunkten 0,25.

Jag använde ekvationen (inte olikheten) y = 25-0,4•x.

Och jag ersatte x med 0 eftersom jag ville veta y-koordinaten för den punkt på linjen vars x-koordinat är 0.

När jag gjorde det så fick jag ekvationen y = 25-0,4•0. Jag multiplicerade alltså 0,4 med 0.

Blev det tydligare då vad jag gjorde och varför?

Henrik 2 skrev:

minus 2

Ska ge dig länk..

 

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/nationella-prov/nationella-provet-ht12-3b/uppgift-20#!/

OK.

Tyvärr är denna lösningsmetod felaktig.

Den råkade ge rätt svar i just det här fallet, men om vinsten per pall istället hade varit t.ex. 200 kronor så skulle metoden ha givit fel svar.

Kan du se vilken fördelning av pallar och byråer som i så fall skulle ha givit maximal vinst och hur stor den vinsten skulle ha varit?

Tillägg: 11 jan 2024 14:37

Jag ska meddela kansliet på Mattecentrum att lösningsmetoden i videon är felaktig.

Hej,

Hahah, seriöst e den fel...Har den int framför mig nu så kan inte svara på din fråga. Men råkade bli rätt,det låter lite suspekt, men förstod dock inte heller varför hon valde -2, hur ska man veta vad man ska välja om man löser det med denna metod?

Aja, så enda lösningen e den som e i exempel och som du gav för att få ut hörnkoordinaterna..

Henrik 2 skrev:

men förstod dock inte heller varför hon valde -2,

Det var ett knep för att kunna använda additionsmetoden för att lösa det linjära ekvationssystemet.

hur ska man veta vad man ska välja om man löser det med denna metod?

Svar: Du ska inte använda den metoden. Du ska använda metoden att ta fram hörnpunkternas koordinater och att jämföra målfunktionens värden vid dessa punkter.

Aja, så enda lösningen e den som e i exempel och som du gav för att få ut hörnkoordinaterna..

Kanske inte den enda, men den säkra.

Ok..:)

Då e det fy fy på Mattecentrum,heheh, nej då...

Henrik 2 skrev:

Ok..:)

Då e det fy fy på Mattecentrum,heheh, nej då...

Just det. Jag har rapporterat det.