Linjers och planers ekvationer som är ekvivalenta

Jag gjorde precis en liten upptäckt, och det är att två till synes olika liners ekvationer kan vara ekvivalenta, kolla här:

$\{\begin{cases} \begin{matrix} 3 t + 1 = x \\ 3 t + 2 = y \\ 3 t + 3 = z \end{matrix} \\ 1 = 1 \end{cases} = \{\begin{cases} \begin{matrix} - 3 t + 4 = x \\ - 3 t + 5 = y \\ - 3 t + 6 = z \end{matrix} \\ 1 = 1 \end{cases}$

Dessa två linjers ekvationer är ekvivalenta, till min förvåning. Det jag omedelbart ser är ju att $3 \neq - 3, 1 \neq 4$ osv... (det blev lite knas när jag skulle skriva in i matteskrivaren, vill annars rapportera att jag tycker om den!). Det jag undrar är om detta går att göra med två planers ekvation, jag menar då utom i det fallet man multiplicerar hela ekvationen med en konstant. Jag misstänker att man inte kan det, för det verkar inte gå när jag prövar med linjens ekvation i två dimensioner...

Nyckeln är att ekvationen är skriven på parameterform. Eftersom linjens ekvation på parameterform är $t\mathbf{v}+\mathbf{P}$ där $\mathbf{v}$ är riktningsvektorn och $\mathbf{P}$ är en punkt på linjen räcker det ju med att riktningsvektorn är densamma och att punkterna ligger på samma linje. Du kan ju nämligen få fram punkten $(4,5,6)$ genom att sätta in $t=1$ i den första linjen.

Om du skriver planets ekvation på normalform är det uppenbart om planen är samma (båda led är multiplicerade med något), men vad händer med planets ekvation på parameterform?

En ledning jag kan ge är att samma fenomen fungerar får tvådimensionella linjer, men man måste skriva linjen på parameterform istället för normalform ( $y=kx+m$ -form).

Svara