Linjer och plan: Ekvationsform
Hej!
Jag håller på att lösa en uppgift där jag fått fyra punkter i planet:
A=(1, 2, 3)
B=(2, 6, 6)
C= (3, 2, 7)
Uppgift a) var att ange på parameterform ekvationen för det plan som innehåller A, B och C.
Beräkning gav lösningen: (1, 2, 3)+ s(1, 4, 8)+ t(2, 0, 4)
Uppgift b) är dock där jag fastnar. Här ska man istället ange på parameterfri form ekvationen för det plan som innehåller A, B och C.
Jag vet att detta är en frågeställning som kan lösas med hjälp av matrisberäkning, men vet inte hur man går till väga för att ställa upp den första matrisen att utgå ifrån.
Tack i förhand :)
Bilda vektorerna AB och AC.
Kryssprodukten AB x AC är en normalvektor till planet, säg (a, b, c)
Då är planets ekv ax+by+cz = konst
Hur man bestämmer konstanten kan du nog lista ut:)
Marilyn skrev:Bilda vektorerna AB och AC.
Kryssprodukten AB x AC är en normalvektor till planet, säg (a, b, c)
Då är planets ekv ax+by+cz = konst
Hur man bestämmer konstanten kan du nog lista ut:)
-När jag gör så kommer jag fram till .
Som du beskriver ovan är ju detta inte det sista steget, har du något tips på hur man tar sig vidrae härifrån?
Du har själv räknat fram (x, y, z) = (1, 2, 3)+ s(1, 4, 8)+ t(2, 0, 4)
Men det ska vara (x, y, z) = (1, 2, 3)+ s(1, 4, 3)+ t(2, 0, 4)
som är (x, y, z) = (1, 2, 3) + s AB + t AC
Jag får AB x AC = (4*4–3*0, 2*3–1*4, 1*0–4*2) = (16, 2, –8) = 2 (8, 1, –4)
Planets ekv är 8x+y–4z = konst.
Sätt in punkten (1, 2, 3): 8+2–12 = –2 = konst
Svar: 8x+y–4z = –2
(Om man har överlevnadsinstinkt sätter man in koordinaterna för B och C och kollar att det blir samma konstant.)
Anm. Det underlättar om man förstår ekvationen (x, y, z) = (1, 2, 3)+ s(1, 4, 8)+ t(2, 0, 4).
1) Du kan komma till en godtycklig punkt (x, y, z) i planet genom att starta i A = (1, 2, 3) och därifrån gå s steg i riktning AB samt t steg i riktning AC.
Omvänt, om du följer den anvisningen kan du aldrig hamna utanför planet.
2) Den parameterfria ekvationen bygger på att du bildar vektorn (x, y, z) – A =
= (x–1, y–2, z–3)
Den vektorn ligger i planet om och endast om (x, y, z) ligger i planet. I så fall är skalärprodukten med normalvektorn lika med 0, dvs
8(x–1)+1(y–2)–4(z–3) = 0.
