Linjer och plan
Jag har en uppgift där jag ska bestämma en ekvation för ett plan som är vinkelrät mot en linje som går genom en punkt. Linjen står i parameterform och punkten står som A=(a,b,c). Om jag har förstått det rätt så måste jag få ut linjens normal som också är riktningsvektorn, och det får jag fram genom att göra om linjen i parameterform till normalform och sedan har jag Ax+By+Cz=D där normalen=(A,B,C). Sedan adderar jag punkten A med riktningsvektorn och får då ut en ekvation för planet.
Min fråga är hur gör jag om en linje i parameterform till normalform? Har inte lärt mig kryssmetoden än och det är det enda som dyker upp när jag söker. Finns det någon enklare metod för att få fram planets ekvation än det jag försöker göra?
Vad är normalform för en linje i R3?
Tillägg: 3 nov 2021 23:10
Om du har linjen som är en normal till planet så har du A, B och C.
Punkten i planet ger D.
Men exempelvis såhär, jag har linjen (x,y,z)=(1,2,3)+t(4,5,6) och punkten A=(1,2,3). Hur skriver jag om (x,y,z)=(1,2,3)+t(4,5,6) till normalform?
Jag vet inte vad normalform för en linje i R3 är.
Du kan skriva linjen som skärningen mellan två plan, men det hjälper nog inte.
Vad är det för fel på parameterformen?
Detta är normalform: Ax+By+Cz=D
Ingenting egentligen. Jag ska ju bestämma en ekvation för ett plan som är vinkelrät mot en linje som går genom en punkt. Det hade vart lättare att göra detta om linjen stod i normalform, men den gör inte det. Så jag tänkte "okej, jag kan omvandla den till parameterform istället" men det är ju inte lätt fick jag reda på.
Men går det att lösa uppgiften med det jag redan har så är det ju ännu bättre. Vet inte om du har en bättre metod, så jag slipper hela processen som jag försöker att genomgå?
ilovechocolate skrev:Detta är normalform: Ax+By+Cz=D
Det är ekvationen för ett plan i R3. Det finns ingen motsvarande ekvation för en linje, utan linjen definieras från en punkt på linjen och linjens riktning.
För att lösa uppgiften så får du A, B och C från linjens riktningsvektor.
D får du som
Ax0 + By0 + Cz0 = D
Där (x0,y0,z0) är koordinaterna för en punkt i planet.
Okej, nu fattar jag ingenting. Så menar du i mitt fall är linjen (y,x,z)=(1,2,3)+t(4,5,6), och detta är även är planets ekvation när den är ortogonal mot linjen?
Du har linjen L: (y,x,z) = (1,2,3) + t(4,5,6)
och punkten P = (1,2,3)
och vill hitta det plan som L är vinkelrätt mot och innehåller P?
Alla plan på form
4x + 5y + 6z = konstant
har L:s riktningsvektor (4,5,6) som normalvektor. För att hitta värdet på konstanten som gör att P ligger däri, så beräkna 4x + 5y + 6z för P:s koordinater
4*1 + 5*2 +6*3 = 22
Planets ekvation kan skrivas
Ax + By + Cz = Ax0 + By0 + Cz0
där (x0,y0,z0) är någon punkt (vilken som helst) i planet.
Okej, och detta resulterar i att 4x+5y+6z=22?
Nej, för jag räknade lite slarvigt. Konstanten blev fel, men det märkte du kanske?
Så det blir såhär: 4x+5y+6z=32?
Det stämmer bra!
Tack för hjälpen, då förstår jag hur man ska göra 😊🙌
