Linjer och plan
Hej! Jag tycks inte förstå skillnaden mellan linjer och plan. Jag löste följande uppgift och min lösning avviker från facit.
Min lösning:
- Låt x = t, z = s. Detta ger att
- Så sökt vektor blir
Men enligt facet är svaret bara , d.v.s. min lösning fast utan den sista parametern. Varför då? Är det parameterformen för ett plan som jag har skrivit ut? Eller är min lösning också rätt? Kan en linje ha två parametrar?
En linje är endimensionell (man kan bara gå i en riktning, framåt och bakåt), så den kan bara ha en riktningsvektor. Alltså kan du inte parametrisera den med två parametrar.
Däremot finns det ju ett oändligt antal linjer i varje plan, så svaret i facit är inte det enda rätta.
Det kan vara lurigt att få grepp om matematiken här, men de flesta har en ganska bra intuition för hur det här fungerar upp till tre dimensioner, genom att tänka sig verkliga objekt. Ett plan är nånting platt, som din bordsskiva. En linje är något långt och rakt, som din penna. Om du ska beskriva en punkt på din penna så behöver du bara säga hur långt fram på pennan du befinner dig, så det räcker med en parameter. Om du ska beskriva var på bordet du är så måste du ge två koordinater, alltså behövs två parametrar för att parametrisera ett plan.
Ja du har skrivit ett plan.
Tänk såhär typ: Med en riktningsvektor så får du en linje (dvs du kan endast röra dig i riktningsvektorns riktning). Med två riktningsvektorer kan du röra dig i två riktningar, dvs i ett plan (förutsatt att de inte har samma riktning då förstås). En linjär kombination av 2 linjärt oberoende riktningsvektorer (som ej är parallella) låter dig gå runt i ett plan, man säger att dom två riktningsvektorerna spänner upp ett plan (se linjärt hölje).
Om du har svårt att visualisera detta så rita upp och låtsas att det är ditt papper. Rita ut 2 stycket linjärt oberoende (ej parallella i detta fall) vektorer och låt dom vara dina riktningsvektorer (låt dom utgå från en gemensam punkt). Välj en punkt på pappret (alltså i planet). Kan du med hjälp av dina 2 riktningsvektorer ta dig dit? Finns det några begränsningar?
Rita nu istället ut en vektor och låt den vara din riktningsvektor. Välj en punkt på pappret (alltså i planet). Kan du med hjälp av din riktningsvektor ta dig dit? Finns det några begränsningar?
En linje i har en parameter, med ett plan i beskrivs med två parametrar.
Då är jag med. Tack så mycket för alla bra förklaringar!
